Questão 179 - ENEM 2009 (cancelado) — Matemática e suas Tecnologias

Professor Janildo Arante

Questão 179 - ENEM 2009 (cancelado) — Matemática e suas Tecnologias

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Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura.

http://hupples.com/#!/grupo/100004/lista/1000026/questao-179

 (1) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 1

Do ponto B ao ponto C temos o raio , do ponto C ao ponto E, temos o mesmo raio e do ponto E ao ponto B, temos o mesmo raio.Logo o triângulo BCE e o triângulo BCF é equilátero (todos os lados e todos os ângulos congruentes).

(2) Vamos analisar a figura da seguinte forma: 

figura 2

Analisando os pontos ECF vemos um setor circular

(3) Vamos analisar a figura da seguinte forma: 

figura 3 

Após essas 3 análises concluímos que:

a) A área S pedida poderá ser calculada por:

S = área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC) + área pintada de verde na figura 3

b) A área verde da figura 3 poderá ser calculada da seguinte forma:

área pintada de verde =  2 [área do setor circular ECF menos área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC)]

Observe que temos 4 pequenas áreas idênticas pintadas de verde na figura 3,então área do setor circular ECF menos a área dos dois triângulos equiláteros (BEC e BFC)  nos dá apenas a área de duas partes verdes, necessitando assim de multiplicarmos por dois para encontramos as 4 áreas verdes.Veja o esquema: 

APÓS A DEVIDA INTERPRETAÇÃO VAMOS AOS CÁLCULOS:

Os triângulos BCE como o BFC tem a mesma área.Sendo eles equláteros, obrigatoriamente:

(1) todos os lados são congruentes

(2) todos os ângulos são congruentes

A área de um triângulo equilátero é dada por: 

Uma vez que o lado desse triângulo é R ,temos:

Logo, a fórmula da "letra b" ficará assim:

Todo triângulo equilátero possui seus ângulos congruentes e iguais a 60 graus, observe a figura abaixo: 

A área verde ficará assim:

Simplicando e organizando tudo ,temos 

 

Aplicando a fórmula deduzida na "letra a" ficará assim: 

  

Lembrando que o ângulo 120° deve ser dado em radianos  (pois o enunciando diz isso) ,temos:

Simplificando e organizando tudo:

LETRA A

UFFFFAAA!!!!    FINALMENTE A RESPOSTA

PROFESSOR ANDERSON VALADARES

BOM RACIOCÍNIO

Postado por Professor Valadares 

http://sigmacurso.blogspot.com.br/2010/02/questao-89-do-enem-2009-resolvida-e.html