06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:

06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:

a) 83

b) 84

c) 85

d) 168

e) 169

Solução: Como K é múltiplo de 3, o valor de K é 3 (triângulo), 6 (hexágono) ou 9 (eneágono).

Para construir um triângulo precisamos escolher 3 pontos (vértices) dentre os 9 pontos disponíveis, e mais, a ordem com que estas escolhas são feitas NÃO FAZ diferença. Logo, o número de triângulos é o número de combinações de 3 vértices escolhidos entre 9 pontos, ou seja, C _9,3 = 9×8×7 / 3! = 504 / 6 = 84 triângulos.

De modo análogo:

O número de hexágonos é C _9,6 =  9×8×7×6×5×4 / 6! = 60480 / 720 = 84.

O número de eneágonos é C _9,9 =  9! / 9! = 1

Então, o número de polígonos é C_9,3 + C_9,6 + C_9,9 = 84 + 84 + 1 = 169 (opção E)

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