Questão 155 - ENEM 2011 — Matemática e suas Tecnologias

Professor Janildo Arantes

Questão 155 - ENEM 2011 — Matemática e suas Tecnologias *

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Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual afazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Trajetória do barco

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

• A) 1 000 m.
• B) 1 000 m.
• C) 2 000 m.
• D) 2 000 m.
• E) 2 000 m.

http://hupples.com/#!/grupo/100004/lista/1000083/questao-160

Este problema testa os conhecimentos do estudante sobre ângulos, como por exemplo: Conhecimentos sobre a medida dos ângulos internos de um triângulo, sobre os ângulos suplementares e também sobre os ângulos notáveis da trigonometria.

A menor distância do barco até o ponto fixo P, sendo mantida a sua trajetória, será a medida do segmento de reta em vermelho na figura ao lado, perpendicular à sua trajetória:

Os enunciado nos fornece as informações que inserimos nesta outra figura abaixo:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Nesta nossa figura o suplemento do ângulo de 60° é um ângulo de 120°:

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo totaliza 180°, o outro ângulo interno deste triângulo também tem a medida de 30°:

Visto que os ângulos A e P são congruentes, a medida do segmento AB é igual à medida do segmento BP

Da trigonometria temos que:

O ângulo de 60° é um ângulo notável cujo valor do seno deve ser de nosso conhecimento:

Como  e , temos que: