10)Em um cinema, os olhos de um espectador estão no mesmo plano horizontal que contém a base da tela vertical com 3,2 m de altura. O espectador vê toda a extensão vertical da tela sob um ângulo de medida a tal que sen (90°-a)=15/17 a) calcule sen a, cos a e tg a. b) calcule a distância entre os olhos do espectador e a base da tela.

Em um cinema, os olhos de um espectador estão no mesmo plano horizontal que contém a base da tela vertical com 3,2 m de altura. O espectador vê toda a extensão vertical da tela sob um ângulo de medida a tal que sen (90°-α)=15/17 

a) calcule sen α, cos α e tg α. 

b) calcule a distância entre os olhos do espectador e a base da tela.

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Resposta:

a ) - 

90 + α + β = 180 

α + β = 90 

β = 90 - α 

sen(90 - α ) = d / y 

onde d é a distância entre os olhos do espectador e a base da tela y e a hipotenusa do triângulo

15/17 = d / y 

15 y = 17 d 

y = 17 d / 15  ou y = 1,13333d 

y² = 3,2² + d² 

(1,133333d)² = 10,24 + d² 

0,28444d² = 10,24 

d² = 10,24 / 0,28444 

d = 6 

y = 1,133333d 

y = 6 , 8 m

sen(α) = 3,2 / 6,8 = 8/17 = 0,47 

cos(α) = 6 / 6,8 = 15/17 = 0,88 

tg(α) = 3,2 / 6 = 8/15 = 0,533333 

b ) - 

6 metros

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Outra forma de resolver esse problema seria:

Questão 10 –

a)sen (90 – α) = 15/17

cos α = 15/17, pois 90 – α e α, são obviamente complementares

90 – α + α = 90 Complementares

Temos que

Sen α = cat op/ hip

cos α = cat adj/ hip

Temos, agora, que

sen² α = (cat op²/ hip²)

cos² α = (cat adj ²/ hip ²)

Agora se somarmos sen² α e cos² α 

Obteremos

Sen ² α + e cos² α

= (cat op²/ hip²) + (cat adj ²/ hip ²)

Como o nosso triângulo é retângulo teremos que :

sen² α + e cos² α =

hip ² / hip ²

sen² α + e cos² α = 1

Já sabemos que cos α = 15/17

Agora aplicaremos esse valor na equação obtida anteriormente

sen² α + 15²/17² = 1

sen² α + 225/289 = 1

sen² α = 1 - 225/289

sen² α = 289/289 - 225/289

sen² α = (289 – 225)/289

sen² α = 64/289

√sen² α = √ (64/289)

sen α = 8/17

Tg  α = sen α/ cos α

Tg α = 8/17 / 15/17

Tg α = 8/17 * 17/15

Tg α = 8/15

b)

Por semelhança de triângulos

8/3,2 = y/15

y = 8 * 15/ 3,2

y = 6,0 m

Colaboração: Daniel Ítalo

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