MMC e MDC - ENEM

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Os cálculos de MMC e MDC estão ligados aos múltiplos e aos divisores de um número. Esse tipo de cálculo, aprendido no ensino fundamental, é essencial para resolver muitas questões e problemas no ENEM.


O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8 = 24 Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 8 = 120.
O MMC é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja o MMC, mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo:
326 + 18 = 656 + 756 = 1356, onde o denominador 56 foi usado porque MMC 28, 8 = 56.

Regra prática para calcular o MMC de dois números. Para calcular o MMC entre 28 e 8, fazemos o seguinte:
1. Reduzimos a fração 288 aos seus menores termos:
288 = 72.
2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida:
28 x 2 = 8 x 7 = 56
3. O valor obtido é o MMC procurado: MMC 28, 8 = 56.
Regra geral para calcular o MMC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do MMC envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte: 
1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
8 = 23
12 = 22 ∙ 31
28 = 22 ∙ 71
2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas fatorações. O resultado é o MMC procurado:
MMC 8, 12, 28 = 23 ∙ 31 ∙ 71 = 168

Dispositivo prático para calcular o MMC de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MMC procurado:
MMC 8, 12, 28 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 168
Propriedade fundamental do MMC. Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números.

Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu MMC, ou seja, são 168, 336, 504,...

Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 3, 4 e 15.

Solução: pela propriedade fundamental do MMC, o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15. Como MMC 3, 4, 15 = 60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.

Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte: 
1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
30 = 21 ∙ 31∙ 51
36 = 22 ∙ 32
72 = 23 ∙ 32
2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada um aparece nas fatorações. O resultado é o MDC procurado:
MMC 30, 36, 72 = 21 ∙ 31 = 6


Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: MDC 30, 36, 72 = 2 ∙ 3 = 6


O algoritmo de EUCLIDES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS. Para o cálculo do MDC de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o MDC de 305 e 360.

1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor:36030555
2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55:

3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim, sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:

4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois números iniciais: MDC (305, 360) = resto anterior ao 0 = 5.
Números primos entre si ou primos relativos. Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si.

Propriedade fundamental do MDC. Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.

Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três números.

EXERCÍCIOS

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

Resposta
O MMC 30, 36, 40 = 360 s = 6 min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles:

1º ciclista = 36040 = 9 voltas; 2º ciclista = 36036 = 10 voltas; 3º ciclista = 36030 = 12 voltas
Resposta: letra B.

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Resolva questão no Enem utilizando MMC

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(PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.” Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html

Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é:
(A) 25
(B) 29
(C) 37
(D) 41
(E) 45

Resposta
Quanto maior o número de pessoas em cada grupo, menor será o número total de grupos e, portanto, menor será o número de bairros visitados. Então, o número máximo de pessoas por grupo será o MDC entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja, MDC 450, 575 = 25 pessoas por grupo. O número total de grupos será o número total de bairros visitados. Como temos 45025 = 18 grupos de mulheres e 57525 = 23 grupos de homens, teremos um total de 18 + 23 = 41 grupos e, portanto, 41 bairros visitados. Letra D.

http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/mmc-e-mdc.html

EXERCÍCIOS

1 - Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:
a) 18 e 60

a) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível:

18, 60 | 2
  9, 30 | 2
  9, 15 | 3
   3, 5 | 3
   1, 5 | 5 1, 1 |

Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = 180.

18, 60 | 2
  9, 30 | 2
  9, 15 | 3
   3, 5 | 3
   1, 5 | 5
 1, 1 |

Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6.

b) 210 e 462

 

b) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números:

210, 462 | 2 105, 231 | 3
   35, 77 | 5
     7, 77 | 7
       1, 11 | 11
    1, 1 |

Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC (210, 462) = 2.310.

210, 462 | 2 105, 231 | 3
   35, 77 | 5
     7, 77 | 7
       1, 11 | 11
    ​1, 1 |

Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 

 

2 - (Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?

a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
 

Como o exercício nos questiona “após quantos segundos elas voltarão a 'piscar simultaneamente'”, precisamos converter as informações dadas para medidas de “segundos”. Portanto, se a primeira torre “pisca” 15 vezes por minuto, sabendo que um minuto equivale a 60 segundos, podemos fazer 60 : 15 = 4, pois as luzes da primeira piscam de 4 em 4 segundos. Equivalentemente, os cálculos para a segunda torre são 60 : 10 = 6, o que nos indica que as luzes da segunda torre piscam de 6 em 6 segundos.

4, 6 | 2 2, 3 | 2
 1, 3| 3
​                              1, 1 | 3*2² = 3 * 2* 2 = 12

Multiplicando os números que dividem o 4 e o 6, temos 2 x 1 x 3 = 12. Portanto, MMC (4,6) = 12. Logo, as torres piscaram juntas a cada 12 segundos. 

3 - (Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: 

Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível.

Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político:

90, 108, 144 | 2
   45, 54, 72 | 2
   45, 27, 36 | 2
   45, 27, 18 | 2
    45, 27, 9 | 3
      15, 9, 3 | 3
       5, 3, 1 | 3
       5, 1, 1 | 5
    1, 1, 1 |

Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 x 3 x 3 = 18.

Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos:

90: 18 = 5 aparições

108/18 = 6 aparições

144 : 18 = 8 aparições

Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 6 + 8 = 19 aparições.

4 - José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado? 

Se José arruma os detergentes em grupos de múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos:

 12, 15, 20 | 2
6 , 15 , 10 | 2
  3 , 15 , 5 | 3
   1 , 5 , 5 | 5
 1 , 1 , 1 |

Temos que multiplicar os números que apareceram à direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. Vejamos os múltiplos de 60:

M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...}

Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 que se encaixa na quantidade de detergentes do supermercado de José é o 120. Mas falta ainda acrescentarmos aquele detergente que sempre restava, portanto, podemos concluir que no supermercado de José havia 121 detergentes.

http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-calculo-mmc-mdc.htm