Razão e proporção
Razão
O conceito de razão é a forma mais comum e
prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma
grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a
ser a base da comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo mede
300 cm² e a área de um outro retângulo mede 210 cm²,
ao fazermos a razão das áreas, temos:
Estamos calculando o quanto a área menor
representa da maior. Em outras palavras, a área menor representa 0,7, ou 70%,
da área maior. Isso é uma comparação muito significativa e fácil de ser feita.
RAZÃO. Dados
dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos de razão entre a e b ao quociente ab=k
Observe que k é um número real. O numerador
a chamamos de antecedente, e o denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão k indica o valor do número a quando
comparado ao número b, tomando-o como
unidade.
Exemplo:
Uma
escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área
livre. A razão da área construída para a área livre é:
A) 6/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 1/10
E) 2/5
B) 3/5
C) 4/5
D) 1/10
E) 2/5
Solução: razão = área construídaárea livre=12003000=25(letra E)
Isso significa que a área construída representa 25=0,4 ,ou 40%, da área livre.
APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO
Escala.
Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles,
representamos as distâncias em escala
menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:
Escala = medida no mapamedida real ; (ambos na mesma unidade de medida).
Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi
representado por um segmento de 3 cm é:
A) 1 : 10.000
B) 1 : 2.000
C) 1 : 3.000
D) 1 : 6.000
E) 1 : 4.000
B) 1 : 2.000
C) 1 : 3.000
D) 1 : 6.000
E) 1 : 4.000
Solução
Primeiramente, transformamos os 60 m
para centímetros, para trabalharmos no mesmo sistema de unidades:
60 m=60⋅100 cm=6000 cm60 m=60⋅100 cm=6000 cm
Portanto,
Escala =3cm6000cm=12000=1:20003cm6000cm=12000=1:2000 (letra B)
Escala =
Velocidade
Média. É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de
percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que
depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns
exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc.
Velocidade média = distância percorridatempo total de percurso
Exemplo: A distância entre as cidades do
Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou 5
horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade média.
Solução
Velocidade = distância percorridatempo total de percurso=400km5hdistância percorridatempo total de percurso=400km5h = 80 km/h
O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km.
O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km.
Densidade.
A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade
também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades
escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a
densidades são g/cm³, kg/m³ etc.
Densidade = massavolume=mvmassavolume=mv
Exemplo: Uma quantidade de óleo de
cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de volume. Sabe-se que a
densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³. Determine a massa do óleo, em gramas.
Solução
Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³.
Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³.
Daí, densidade = massavolume⇒0,86=m1000⇒m=0,86⋅1000 = 860 g
Portanto, a massa de óleo contida na
jarra é de 860 g.
Proporção
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões.
onde a1 ,
a2 , b1 , b2
são números reais com b1
e b2 diferentes de zero. O
número k é o que chamamos de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2 está para b2 ).
O antecedente da primeira razão (a1 ) e o consequente da
segunda (b2 ) são chamados
de extremos, enquanto o consequente
da primeira razão (b1 ) e o
antecedente da segunda razão (a2 )
são chamados de meios. Os nomes são
sugestivos quando consideramos a segunda forma de expressar a proporção (a1 :b1 :: a2 :b2 )
Propriedade fundamental da proporção
Propriedade fundamental da proporção
O produto dos meios é igual ao produto
dos extremos. O que denotamos por:
ab=cd⟺bc=ad
Pela comutatividade do produto, podemos
escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas:
ab=cd⟺dc=ba⟺db=ca⟺ac=bd , entre outras.
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de
água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias
ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros
utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio
da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60
litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros
SoluçãoChamemos de x o número de litros de água despejados
pela bacia ecológica. Daí,
1560=6x→15x=360→x=24litros
Assim, a
economia será de: 60−24=36litros
Resposta: letra B
Resposta: letra B
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/razao-e-proporcao.html
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