Numeros Figurados *

Professor Janildo Arantes - desde 16 de agosto de 2009: Numeros Figurados *:

Numeros Figurados *

Números triangulares e outros números poligonais Os números poligonais são números que se podem representar representar os números geometricamente através de pontos igualmente espaçados entre si formando poligonos regulares. Por exemplo, os números triangulares, os primeiros que se apresentam na tabela seguinte, podem-se representar através de pontos dispostos em triângulos. Na tabela, a seguir aos números triangulares, tens os quadrados, os pentagonais, os hexagonais e os octogonais. Descobre os números poligonais Na página seguinte podes mandá-los construir, basta mudares o número de lados do polígono (sides) e o tamanho (size), o que está construído é o terceiro número pentagonal. Clica na imagem para começares a construí-los... Na página seguinte podes ver os números das várias sequências de números poligonais. http://www.virtuescience.com/polygonal-numbers.html Na Grécia antiga Pitágoras, matemático e filosofo grego, parece ter sido o primeiro a estudar estes números e a ligá-los à geometria, no século VI a.C.   Uma definição Diofanto, no século III escreveu um livro sobre os números figurativos...e defini-os da seguinte forma: Se houver tantos números quantos quisermos, começando pelo 1 e aumentando pela mesma diferença constante,  - quando a diferença constante é 1, a soma de todos os números é um número triangular;  - quando a diferença constante é 2, a soma de todos os números é um número quadrado; - quando a diferença constante é 3, a soma de todos os números é um número pentagonal. Para compreenderes a que Diofanto se referia vê as páginas de cada um dos números poligonais. Desta forma foram representados alguns dos números poligonias numa aritmética do século XV, nessa altura eram conhecidos por números figurativos. Os Números Triangulares Comecemos por recolher uma colecção de bolas do mesmo tamanho. Convém que não sejam muito grandes e, se forem bonitas, tanto melhor. Uma boa escolha é o conjunto das 15 bolas coloridas de "snooker", até porque já trazem um caixilho triangular de madeira. Não é por acaso que as bolas coloridas encaixam perfeitamente num triângulo equilátero com 5 bolas em cada lado. Acontece que quinze é o Número Triangular de ordem cinco, ou T(5)=15. Procuremos os primeiros Números Triangulares T(1) = 1 T(2) = 3 T(3) = 6 Se as bolas começarem a rolar, podemos arranjar duas ripas formando um ângulo de 60º, na forma de um funil. Agora basta ir colocando camadas de bolas no funil: T(1) = 1 T(2) = T(1) + 2 = 3 T(3) = T(2) + 3 = 6 T(4) = T(3) + 4 = 10... Fórmula Recursiva: T(1) = 1 T(n+1) = T(n) + (n+1) As fórmulas recursivas têm a sua importância, mas talvez seja melhor procurar uma relação iterativa. Coloquemos agora as ripas num ângulo de 45º: T(1) = 1 T(2) = 1 + 2 = 3 T(3) = 1 + 2 + 3 = 6 T(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10... Fórmula Iterativa: T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n Diz a lenda que Gauss, quando miúdo de escola, era bastante irrequieto. Um dia o professor decidiu pô-lo a calcular: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de o manter sossegado por algum tempo. Não resultou, pois o miúdo rapidamente calculou: 50 * 101 = 5050. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Não negando o devido valor a tal prodígio infantil, convém recordar que este é um dos mais antigos resultados conhecidos da Matemática. Os antigos gregos já o conheciam tendo-o demonstrado, como era seu gosto, por via geométrica. Teorema T1 (Pitágoras, sec. VI A.C.):   2 * T(n) = n * (n+1) Um Exemplo: 2 * T(4) = 2 * (1+2+3+4) = 4 * 5 Uma Demonstração: n + 1 = n+1 (n-1) + 2 = n+1 (n-2) + 3 = n+1 ... 2 + (n-1) = n+1 1 + n = n+1 _____________ n * (n+1) Assim obtemos uma Fórmula Fechada para o cálculo do Número Triangular de ordem n:   T(n) = n (n+1) / 2 e provamos também aquela que ficou conhecida como "Fórmula do menino Gauss":   1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2. Teorema T2 (Nicómacus, sec. I):   T(n) + T(n+1) = (n+1)2 Um Exemplo: T(4) + T(5) = (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) = 5 * 5 Uma Demonstração: n + 1 = n+1 (n-1) + 2 = n+1 (n-2) + 3 = n+1 ... 2 + (n-1) = n+1 1 + n = n+1 0 + (n+1) = n+1 _____________ (n+1) * (n+1) = (n+1)2 Exercícios: 3 T(n) + T(n-1) = T(2n) 3 T(n) + T(n+1) = T(2n+1) 9 T(n-1) + 3n = T(3n-1) Uma Aplicação dos Números Triangulares Imaginemos uma situação em que n pessoas se encontram. Para que todos se cumprimentem mutuamente, quantos apertos de mão deverão ser efectuados? O 1º cumprimenta (n-1) 2º (n-2) ... ... (n-1)º 1 nº 0 _______________________ Total de apertos de mão = T(n-1) Se essas n pessoas decidirem organizar um campeonato de snooker, precisarão naturalmente de travar T(n-1) partidas.  http://www.atractor.pt/mat/numeros/triangulares/ Os números quadrangulares são, da mesma forma como os anteriores, números que podem representar uma forma quadrada. Veja a figura: E os dois próximos números dessa sequência, você é capaz de descobrir?Veja que Pitágoras encontrou uma maneira divertida de lidar com os números, desenhando, procurando relações com outras áreas da matemática e outras ciências. A matemática pode ser divertida e interessante. Que tal fazer como Pitágoras e tentar descobrir outros números que podem virar uma figura? Desenhe com seus amigos, desafie-os a descobrir quais são os próximos números de cada uma das sequências acima. Divirta-se com a matemática!*O próximo número triangular depois do 10 é 15. E os dois próximos números quadrangulares após o 16 são o 25 e o 36.Por Marcelo RigonattoMatemáticoEquipe Escola Kids