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domingo, 21 de fevereiro de 2016

Teoria dos conjuntos *



Teoria dos conjuntos *

Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.

ORIGEM


Georg Cantor.
A teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos destes conjuntos.
Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência 1-1 entre os números inteiros e seus quadrados, o que violava a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes.
Esta aplicação da correspondência 1-1 permitiu a Cantor introduzir um método dediagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha correspondência 1-1 com o conjunto dos números inteiros. Isto, mais tarde, levou ao desenvolvimento do conceito de contínuo por Richard Dedekind.
Iniciando com estas descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma teoria dosconjuntos abstratos, que constitui-se em uma generalização do conceito de conjunto.

CONJUNTO

Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos inteiros.
Como pode ser visto por este exemplo, os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.

Relações

  • Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou que xestá em A. Neste caso, escrevemos x \in A. (O símbolo "\in" é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1888). O símbolo \notin é às vezes usado para escrever x \notin A, ou "x não pertence a A".
Dois conjuntos A e B são iguais quando possuem precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é um elemento de B e cada elemento de B é um elemento de A. Um conjunto é completamente determinado por seus elementos; a descrição é imaterial. Por exemplo, o conjunto com os números 2, 3 e 5 é igual ao conjunto de todos os números primos menores que 6. Se A e B são iguais, então é representado simbolicamente por A = B (como de costume).
Também é permitido um conjunto vazio, muitas vezes representado pelo símbolo \varnothing: um conjunto sem elementos. Já que um conjunto é determinado completamente por seus elementos, pode haver apenas um conjunto vazio.
  • Se A é um subconjunto do conjunto B, diz-se que A está contido em B. Neste caso, escreve-se A\subsetB. Já o símbolo ⊄ é usado para escrever A ⊄ B, ou "o conjunto A não está contido no conjunto B".

PARAÍSO

A força desta Teoria é exemplificada pela frase de David Hilbert: "Ninguém pode nos expulsar do Paraíso criado por Cantor". (ver em Wikiquote)
Por exemplo, para definir o conceito de número cardinal, tendo a definição de função, basta definir:
A é um número cardinal quando \forall x, y \in A \exists f: x \rarr y, sendo f uma função bijetiva
Em outras palavras, o número cardinal "10" é o conjunto formado por todos os conjuntos de 10 elementos. O número zero é o conjunto de todos os conjuntos vazios, ou seja, 0 = \varnothing\ , define-se "1" como:
1 = \{ x | \exists y \in x \and \forall y, z \in x \rarr y = z\}
e, a partir da definição de interseção e união, define-se x + y como o conjunto formado pelas uniões disjuntas dos elementos de x e y.

CRÍTICA

A Teoria dos Conjuntos de Cantor, apesar de fornecer uma poderosa ferramenta para construir toda a matemática em uma base axiomática, não resistiu muito tempo. Oparadoxo de Russell, que consiste em definir o conjunto M=\{A\mid A\not\in A\} e depois fazer a pergunta M \in M \ ou \ M \not\in M \ ?, é a contradição mais famosa da teoria. Por causa desses paradoxos, outras teorias foram propostas.

TEORIA DOS CONJUNTOS DE ZERMELO-FRAENKEL

Nesta teoria, cujo nome menciona os matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel, só existe um tipo de conjunto: aqueles cujos elementos também são conjuntos. Em outras palavras, no Universo só existem conjuntos, a relação \in entre conjuntos, e tudo que pode ser definido através da lógica e dos axiomas.
Por exemplo, não existe um conjunto { a, b, c }, porque a, b ou c não são conjuntos; mas podemos definir pelos axiomas s(x) = x \cup \{ x \}\,, e, em seguida:
0=\varnothing,
1=s(0)=\{\varnothing\}=\{0\},
2=s(1)=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{0,1\},
3=s(2)=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}=\{0,1,2\}
e assim por diante de forma a termos alguns números naturais.
Esta teoria evita alguns paradoxos, mas deixa várias perguntas sem resposta, tais como a hipótese do contínuo.

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Conjunto





A \subseteq B

A \cap B

A \cup B

A \setminus B
Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

INTRODUÇÃO

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto) como os seguintes exemplos:
\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!
\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!
\left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}
Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.
É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).
Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

TERMINOLOGIA

Conceitos essenciais

  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, sempre representado por letrasmaiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;

Pertence ou não pertence

Se a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever a \in A . Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever a \not\in A.

Subconjuntos próprios e impróprios

Se A \,\! e B \,\! são conjuntos e todo o elemento x \,\! pertencente a A \,\! também pertence a B \,\!, então o conjunto A \,\! é dito um subconjunto do conjunto B \,\!, denotado por A \subseteq B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B). Se A \subseteq B e ao menos um elemento pertencente a B \,\! não pertence a A \,\!, então A \,\! é chamado de subconjunto próprio de B \,\!, denotado por A \subset B. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou\emptyset.
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União
A união (ou reunião) de dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto A \cup B composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A \,\! e B \,\!.
A união de N conjuntos S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S_i \,\!.
Ver artigo principal: Interseção
A interseção de dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto A \cap B composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A \,\! e B \,\!.
A diferença entre dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto de todos os elementos de A \,\! que não pertencem a B \,\!.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou númerocardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser \aleph_0 (aleph-0), \aleph_1, \aleph_2 ....
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | .

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P(A)\,\!. O conjunto potência é umaálgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes deA é 2n, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2n. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto {0,1}A, é usual representar-seP(A) por 2^A\,\!.
O Teorema de Cantor estabelece que |A| < |P(A)|\,\!.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.

NOTAÇÃO DOS CONJUNTOS

Os conjuntos são representados de diversas formas:
  • A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
  • As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
  • Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

EXEMPLOS DE CONJUNTOS COMPOSTOS POR NÚMEROS

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.
  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo \mathbb{N} usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo \mathbb{Z} usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significanúmeros).
  3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo \mathbb{Q} usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo \mathbb{A} ou \bar{\mathbb{Q}} usualmente representa este conjunto.
  5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo \mathbb{R} usualmente representa este conjunto.
  6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo \mathbb{I} usualmente representa este conjunto.
  7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: r + s\imath. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo \mathbb{C} usualmente representa este conjunto.
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Multiconjunto


Matematicamente, um multiconjunto é a generalização de um conjunto, de tal forma que permite a repetição de elementos.
Por exemplo, M = {a, b, c, c, d, e, e} é um multiconjunto distinto de X = {a, b, c, d, e}, mas se M e X fossem conjuntos, teríamos M=X.

DEFINIÇÃO FORMAL

Um multiconjunto é definido como um par (A,m), onde A é um conjunto qualquer, e m: A \rightarrow \mathbb{N} a função que associa a cada elemento de A um número natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja \mathbb{N} = \{1,2,3, ... \}.
A multiplicidade de um elemento a é definido como m(a).
Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos m(i) vezes um elemento i do multiconjunto.
Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que A = {a,b,c,d,e} e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por M = {a,b,c,c,d,e,e}. A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.
Como os multiconjuntos são uma generalização de conjuntos, um multiconjunto B é um conjunto quando m(i) = 1 para todo i \in B.

EXEMPLOS

Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:
  • Na fatoração: a forma natural de se expressar a fatoração de um número naturalou um polinômio é através de multiconjuntos. Por exemplo, os fatores primos de 12 são {2, 2, 3}, e os fatores primos de 18 são {2, 3, 3}.
  • A solução de uma equação polinomial é um multiconjunto, já que é importante indicar a multiplicidade de cada raiz.

CARDINALIDADE DE UM MULTICONJUNTO

A cardinalidade de um multiconjunto M = (A,m) é definida como:
\sum_{i \in A} m(i) .

 SELEÇÃO COM REPETIÇÃO

Em análise combinatória, multiconjunto é uma seleção com repetição. Em uma seleção em combinatória, a ordem não é importante.
Para calcular o número de multiconjuntos com k elementos escolhendo entre n tipos de elementos.
\left\langle \begin{matrix}n \\ k \end{matrix}\right\rangle =CR^{k}_{n} = C^{k}_{n+k-1} = {n + k -1 \choose k} =\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}={n+k-1 \choose n-1}
Exemplos
1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7?
É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais.
\left\langle \begin{matrix}8 \\ 2 \end{matrix}\right\rangle = {8 + 2 -1 \choose 2} =\frac{(8+2-1)!}{2!(8-1)!}=\frac{9!}{2!(7)!}=36
2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes?
Podemos considerar a seqüência seguinte:
\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet
Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação:
X4 + X3 + X2 + X1 = 18, Xi = número de bolas da i-ésima caixa
Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então
\left\langle \begin{matrix}4 \\ 18 \end{matrix}\right\rangle = {18+4-1 \choose 18} = \frac{(21)!}{18!(21-18))!}=\frac{(21)!}{3!(18)!}=1330
Outra forma de resolver esse problema é observando a figura acima. Há 18 bolas e 3 barras verticais indicando quatro caixas, cada uma em uma posição. Podemos permutar os termos que no total são 18+4-1 (18 bolas e 3 barras) e descontar as repetições já que as bolas são iguais e as barras também. Fazendo permutação de elementos iguais.
\frac{(21)!}{3!(18)!}=1330
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Hiperconjunto







Em ZFC sem o axioma da regularidade, a possibilidade de infundados conjuntos surgem. Estes conjuntos, se existem, são também chamados hiperconjuntos. Claramente, se A ∈ A, então A é um hiperconjunto.
Em 1988, Peter Aczel publicou um trabalho influente, Non-Well-Founded Sets (Conjuntos Não-Bem-Fundados). A teoria dos hiperconjuntos tem sido aplicada à ciência computacional (processamento algébrico e semântica limite), linguística (teoria da situação), e filosofia (trabalho sobre o paradoxo de Liar).

TIPOS

Três distinctos anti-fundamentos axiomáticos são bem conhecidos:
  1. AFA ("Axioma do Anti-Fundamento") — atribuído a M. Forti e F. Honsell, e também conhecido como axiona anti-fundação de Aczel;
  2. FAFA ("AFA de Finsler") — atribuído a P. Finsler;
  3. SAFA ("AFA de Scott") — atribuído a Dana Scott.
O primeiro destes, i.e. AFA, é baseado em gráficos de pontos acessíveis(apg) e afirma que dois conjuntos são iguais se e apenas se podem ser representados (figurados) pelo mesmo apg. Dentro deste dominio (framework), pode ser demonstrado que o chamadoátomo de Quine, formalmente definido por Q={Q}, existe e é único.
Vale a pena enfatizar que a teoria dos hiperconjuntos é uma extensão da teoria clássica mais do que uma inovação: Os bem-fundandos conjuntos dentro de um domínio no qual os hiperconjuntos também existem conforman-se à teoria clássica dos conjuntos.

REFERÊNCIAS GERAIS

Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets., CSLI Lecture Notes, 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137,Predefinição:MR, ISBN 0-937073-22-9
http://pt.wikipedia.org/
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