By rafaelbb
Progressões: Aprenda as diferenças de P.A. e P.G.
Progressões: exemplo de uma P.A. e uma P.G
1) Progressões Aritméticas:
Definição: P.A são sequências de números, em que a diferença entre um número e seu antecedente é igual à uma razão “r”. Elas podem ser crescentes ou decrescentes. Nas progressões crescentes, a razão será positiva, e nas decrescentes, será negativa.
O valor da razão “r” será calculado da seguinte forma:
r = a2 – a1 ou r = a3 – a2 ou r = a4 – a3 ou r = a5 – a4 ou r = a6 – a5, e assim por diante.
Nos exercícios de progressões aritméticas (P.A.), devemos ter em mente duas fórmulas:
a) N-ésimo termo de uma P.A.:
A fórmula abaixo é usada quando se quer determinar o n-ésimo termo de uma progressão aritmética.
an = a1 + (n – 1) . r
Onde,
an = n-ésimo termo que se quer determinar.
a1 = primeiro termo da sequência.
n = número de termos da sequência.
r = razão da sequência, encontrado pela diferença de um termo e seu antecessor.
Exercício:
Dada a sequência (1,3,5,7,9,11,13,15,17), calcule o décimo oitavo termo dessa sequência.
a1 = 1
n = 18
r = 3 -1 = 2 ou r = 5 – 3 = 2 ou r = 7 – 5 = 2
a18 = ?
an = a1 + (n – 1) . r
a18 = 1 + (18-1) . 2
a18 = 1 + 17.2
a18 = 1 + 34
a18 = 35
b) Soma dos n primeiros termos:
Podemos fazer a soma de n termos de uma progressão aritmética por meio de uma fórmula, que será:
Sn = ((a1 + an) . n) / 2
Sn = soma dos n termos
a1 = primeiro termo da sequência.
an = n-ésimo termo da sequência.
n = número de termos da sequência.
Exercício:
Dada a sequência (1,3,5,7,9,11,13,15,17), calcule a soma dos termos dessa P.A.
a1 = 1
an = 17
n = 9
Sn = ?
Sn = ((a1 + an) . n) / 2
Sn = ((1 + 17) . 9) / 2
Sn = (18.9) / 2
Sn = 81
2) Progressões Geométricas:
Definição: P.G. são sequência de números, em que a divisão entre um número e seu antecedente é igual à uma razão “q”. Elas podem ser crescentes ou decrescentes. Nas progressões crescentes, o q será maior que 1, e nas progressões decrescentes, será menor que 1 e maior do que zero. Nas progressões com razão negativa, a sequência não será nem crescente nem decrescente.
O valor da razão “q” será calculado da seguinte forma:
q = a2 / a1 ou q = a3 / a2 ou q = a4 / a3 ou q = a5 / a4 ou q = a6 / a5, e assim por diante.
Nos exercícios de progressões geométricas (P.G.), devemos ter em mente três fórmulas:
a) N-ésimo termo de uma P.G.:
A fórmula abaixo é usada quando se quer determinar o n-ésimo termo de uma progressão geométrica.
an = a1 . q ^ (n – 1)
Onde,
an = n-ésimo termo que se quer determinar.
a1 = primeiro termo da sequência.
n = número de termos da sequência.
q = razão da sequência, encontrado pela divisão de um termo e seu antecessor.
Exercício:
Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule o décimo oitavo termo dessa sequência.
a1 = 1
q = 2 / 1 = 2 ou q = 4 / 2 = 2 ou q = 8 / 4 = 2 ou q = 16 / 8 = 2
n = 18
an = ?
an = a1 . q ^ (n – 1)
a18 = 1 . 2 ^ (18 – 1)
a18 = 1 . 2 ^ 17
a18 = 1 . 131072
a18 = 131072
b) Soma dos n primeiros termos (P.G. finita):
Podemos fazer a soma de n termos de uma progressão geométrica por meio de uma fórmula, que será:
Sn = (a1 . ((q ^ n) – 1)) / (q – 1)
Onde,
Sn = soma dos n primeiros termos.
a1 = primeiro termo da sequência.
n = número de termos da sequência.
q = razão da sequência, encontrado pela divisão de um termo e seu antecessor.
Exercício:
Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule a soma dos n termos dessa sequência.
a1 = 1
n = 9
q = 2 / 1 = 2 ou q = 4 / 2 = 2 ou q = 8 / 4 = 2 ou q = 16 / 8 = 2
Sn = ?
Sn = (a1 . ((q ^ n) – 1)) / (q – 1)
Sn = (1 . ((2 ^ 9) – 1 ) / (2-1)
Sn = (1. (512) – 1) / (1)
Sn = (512 – 1) / 1
Sn = 511
c) Soma dos infinitos termos de uma sequência (P.G. infinita):
Podemos fazer a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica por meio de uma fórmula, que será:
S infintos = a1 / (1 – q)
Observação: Nesse caso específico, a razão deve estar compreendida entre -1 e 1 (condição necessária para usar a equação abaixo).
Onde,
S infinitos = soma dos infinitos termos.
a1 = primeiro termo da sequência.
q = razão da sequência, encontrado pela divisão de um termo e seu antecessor.
Exercício:
Dada a sequência (1, 0.5, 0.25, 0.125, …), calcule a soma dos infinitos termos dessa sequência.
Observe o sinal de “…”, indicando que a P.G. é infinita.
a1 = 1
q = 0,5 / 1 = 0,5 ou q = 0.25 / 0.5 = 0.5 ou q = 0.125 / 0.25 = 0.5
S infintos = a1 / (1 – q)
S infintos = 1 / (1 – 0,5)
S infinitos = 1 / 0,5
S infinitos = 2
As fórmulas das progressões aritmética e geométrica devem ser memorizadas por aquelas pessoas que irão fazer provas de matemática ou raciocínio lógico, pois a grande maioria dessas provas cobram assuntos relacionados à progressões.
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