Probabilidade Condicional

Quando discorremos sobre alguns conceitos da probabilidade e também sobre a união de dois eventos, os exemplos dados sempre calculavam a probabilidade de um evento ocorrer diretamente em função do espaço amostral.

A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S.

A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento ocorrido B é expressa como:

Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula:

Sabemos que , a probabilidade da intersecção, é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral:

A probabilidade de B também é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral:

Os substituindo na fórmula original temos:

Para uma melhor compreensão da teoria, vejamos o exemplo a seguir.

Exemplo

Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?

Observe a figura abaixo e a compare com as informações do enunciado. Fazer isto poderá lhe ajudar na resolução de outros problemas:

De onde tiramos que:

A probabilidade procurada é dada pela fórmula:

Como supracitado a probabilidade da intersecção é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral, então a fórmula acima pode ser reduzida a:

O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras, ou seja, a quantidade de elementos da intersecção é igual a 200, já o número de consumidores que utilizam ao menos a bandeira VISA é 550, portanto:

Portanto:

A probabilidade de escolhida uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um usuário da bandeira MASTERCARD é ⁴/₁₁.

Acima tratamos da probabilidade da ocorrência de um evento A tendo ocorrido um evento B. Se tivéssemos a probabilidade da ocorrência de um evento B tendo ocorrido um evento A, a fórmula para o cálculo desta probabilidade seria:

O que implica em:

http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeCondicional.aspx

(Petrobrás Nível Médio 2010 – Cesgranrio – Questão 32) FGV traça perfil de alunos on-line.

Mulheres solteiras, com curso superior e renda até R$2.000,00. Esse é o perfil do brasileiro que busca aperfeiçoamento profissional gratuito na Internet, como mostra levantamento feito pelo FGV on-line, de março a setembro

de 2009. (Jornal O Globo, 03 mar. 2010)

O resultado desse levantamento é apresentado no quadro abaixo.

São mulheres: 58,3%

Ganham até R$2 mil por mês: 77,7%

Têm graduação: 68,1%

Concentram-se em SP, RJ e MG: 62,8%

Ocupam o cargo de analista: 34,1%

Considere que 2.000 pessoas participaram dessa entrevista e que, do total de pessoas que se concentram em São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais, 50% são homens. Escolhendo-se, ao acaso, um dos homens entrevistados,qual é, aproximadamente, a probabilidade de que ele seja de São Paulo, Rio de Janeiro ou Minas Gerais?

(A) 75,3%

(B) 41,7%

(C) 31,4%

(D) 19,5%

(E) 10,3%

Vamos resolver o exercício utilizando a probabilidade condicional, pois queremos saber a probabilidade do entrevistado ser de SP, RJ ou MG, sabendo que é homem.

Veja a fórmula:

P(A/B) = P(A∩B) / P(B)

onde:

A = Conjunto dos entrevistados em SP, RJ ou MG

B = Conjunto dos homens entrevistados

P(A∩B) = probabilidade de ser homem e entrevistado em SP, RJ ou MG

Sabendo que:

– “Concentram-se em SP, RJ e MG: 62,8%”

– “Considere que 2.000 pessoas participaram dessa entrevista e que, do total de pessoas que se concentram em São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais, 50% são homens.”

P(A∩B) = 0,628 / 2 = 0,314

P(B) = Probabilidade de ser homem

Sabendo que:

– “São mulheres: 58,3%”

P(B) = 0,417

Logo, P(A/B) = 0,314 / 0,417 = 0,753 = 75,3%

http://sabermatematica.com.br/exercicios-resolvidos-probabilidade-condicional.html