Terno pitagórico

MMN e Propedêutica:

Terno pitagórico

Em matemática, nomeadamente em teoria dos números,
um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Umterno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

Em suma, chamam-se ternos pitagóricos aos conjuntos de três números inteiros que podem representar os comprimentos dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo.

São pitagóricos os ternos: 

3,4 e 5

5,12 e 13

7, 24 e 25

9, 40 e 41 etc.

Mas como gerar números pitagóricos?

Alguns matemáticos da grécia antiga criaram processos para gerar números pitagóricos. Um destes processos, criado por Diofanto, afirma que , dados dois qualquer números naturais, m e n, os naturais:

diferença dos quadrados de m e n

dobro do produto de m por n e

soma dos quadrados de m e n formam um terno pitagórico.

É

fácil de provar!

Também se pode provar que o raio da circunferência inscrita num triângulo em que os comprimentos dos lados são um terno pitagórico gerado pelo método de Diofanto é igual a n(m-n)

Nesta figura estão representados todos os ternos pitagóricos. As coordenadas retangulares são as medidas dos catetos de cada triângulo e a medida da hipotenusa é o módulo do complexo a+bi (para módulos menores que 4500!)

Fórmula de Euclides

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m e n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

3,4 e 5

O primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4 e 5, já que 3²+4²=5². Mas os números 3, 4 e 5 desempenham um papel importante em todos os ternos pitagóricos. Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico primitivo:

· exatamente um dos números a ou b é múltiplo de 3;

· exatamente um dos números a ou b é múltiplo de 4;

· exatamente um dos números a, b ou c é múltiplo de 5.

Obtenção de trios (ternos) pitagóricos por fórmulas de álgebra geométrica

Dado um triângulo retângulo seja a o cateto menor, seja b o outro cateto, seja c a hipotenusa.

Dado t=2(c-b) e m=(a+b-c)/2(c-b) ou m = b/(a+c-b), a álgebra geométrica permite a obtenção das equações.

a = t(2.m + 1),b = t(2.m^2 + 2.m), c = t(2.m^2 + 2.m +1).

Quando fixamos um valor para t e variamos o valor de m obtemos toda a série existente de triângulos retângulos, todos diferentes entre si, pois o parâmetro m define sempre a forma do triângulo, ou seja fixa os seus ângulos agudos.Isto fica evidente, porque a tangente dos ângulos agudos não possui o parâmetro t nas suas expressões.

Quando fixamos um valor para m e variamos o valor de t obtemos toda a série de triângulos daquela forma definida pelo parâmetro m. Porém todos com diferentes áreas entre si, pois o parâmetro t é um parâmetro de escala, ou seja define a variação do tamanho ou área.

Ternos pitagóricos primitivos

Para obtermos ternos pitagóricos primitivos devemos ter:

Valores inteiros para t,e valores fracionários para m tal que m=p/q com p,q inteiros,primos entre si e p>q(sqrt)2/2.

Tomando como base o cateto menor temos uma série impar onde este cateto é sempre impar, e uma série par onde o cateto menor é sempre par.

Na série impar façamos t=q^2 e m = p/q sendo p>q(sqrt)2/2 e primos entre si, exceto q=1.

Logo :a = 2pq + q^2 , b = 2p^2 + 2pq , c = 2p^2 + 2pq +q^2 .

Neste caso temos q=1, p=1,2,3,4,5..., q=3, p=4,5,7,8,10..., q=5, p=4,6,7,8,9....

Com q=1 temos a=3,5,7,9,11..., b=4,12,24,40,60..., c=5,13,25,41,61... Com q=3 temosa=33,39,51,57,69..., b=66,80,140,176,260..., c=75,89,149,185,269....

Na série par façamos t= (q^2/2)e m=p/q sendo p>t;q(sqrt)2/2 e primos entre si.

Logo: a = pq + q^2/2 , b = p^2 + pq , c = p^2 + pq + q^2/2

Neste caso temos q=2 , p=3,5,7,9,11..., q=4, p=3,5,7,9,11..., q=6, p=5,7,11,13,15...

Com q=2 temos a=8,12,16,20,24... , b=15,35,63,99,143... , c=17,37,65,101,145... Com q=4 temos a=20,28,36,44,52... , b=21,45,77,117,165... , c=29,53,85,125,173...

Obtenção dos outros ternos pitagóricos

Para obtenção dos outros ternos, basta tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicar seus valores por 2,3,4,5,6....

sqrt = square root = Raiz Quadrada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

m	n	Diferença dos quadrados (a)	Dobro do produto (b)	soma dos quadrados ( c )
2	1	3	4	5
3	2	5	12	13
4	3	7	24	25
5	4	9	40	41
6	5	11	60	61
7	6	13	84	85
8	7	15	112	113
9	8	17	144	145
10	9	19	180	181
11	10	21	220	221
12	11	23	264	265
13	12	25	312	313
14	13	27	364	365
15	14	29	420	421
16	15	31	480	481
17	16	33	544	545
18	17	35	612	613
19	18	37	684	685
20	19	39	760	761
21	20	41	840	841
22	21	43	924	925
23	22	45	1012	1013
24	23	47	1104	1105
25	24	49	1200	1201

m	n	Diferença dos quadrados (a)	Dobro do produto (b)	soma dos quadrados ( c )
4	2	12	16	20
6	4	20	48	52
8	6	28	96	100
10	8	36	160	164
12	10	44	240	244
14	12	52	336	340
16	14	60	448	452
18	16	68	576	580
20	18	76	720	724
22	20	84	880	884
24	22	92	1056	1060
26	24	100	1248	1252
28	26	108	1456	1460
30	28	116	1680	1684
32	30	124	1920	1924
34	32	132	2176	2180
36	34	140	2448	2452
38	36	148	2736	2740
40	38	156	3040	3044
42	40	164	3360	3364
44	42	172	3696	3700
46	44	180	4048	4052
48	46	188	4416	4420
50	48	196	4800	4804