Combinatória I *
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
PARTE I - Resolva os seguintes problemas:
- Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o Cruzeiro dispõe?
Resposta: dois modelos de camisa e três de calção. Assim, pelo PFC, 2 x 3 = 6 (seis distintos uniformes dispõe o Cruzeiro)
- Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, também as meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa?
Resposta: dois modelos de camisa, dois de meias e três de calção. Assim, pelo PFC, 2 x 2 x 3 = 12 (doze distintos uniformes dispõe o Cruzeiro)
Uma forma de visualizarmos o que ocorre nos exemplos acima é usando o diagrama de árvore, que é montado como no exemplo abaixo:
Para chegarmos ao 2º andar do Coltec, vindos de fora do prédio, podemos escolher entre duas portas de entrada e quatro escadas de acesso. De quantas formas distintas podemos chegar?
e1
e2
p1
e3
e4
e1
e2
p2
e3
e4
- Complete o diagrama acima para chegarmos ao terceiro andar, sabendo-se que existem duas escadas de acesso do 2º para o 3º andar.
- Sendo os conjuntos A={a1, a2, a3, .......,am} e B={b1, b2, b3, .........., bn}, deterine quantos elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (ai, bj) onde aiA e bjB, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?
PARTE II – Resolva os seguintes problemas:
- Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiros colocados?
- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,am}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (ai, aj) onde ai , ajA que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se ?
PARTE III - O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição?
ENUNCIADO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n2 maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é n1.n2.....nk.
Exercícios:
1) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?
2) A turma M.26 tem 19 alunos. Um deles será escolhido para ser representante de turma e outro para vice. Qual é o número de possíveis disposições das pessoas nas vagas?
3) De quantas maneiras podemos responder a 10 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
4) Chamamos de anagrama a um agrupamento de letras formado a partir de um conjunto de letras, tendo ou não sentido a palavra formada por esse agrupamento. Desta forma determine quantos são os anagramas formados com as letras da sigla UFMG.
2. PERMUTAÇÃO
- Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?
- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,an}, quantas sequências distintas poderemos fazer com todos os seus elementos?
Chamaremos de Permutação a todos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja,
Pn = n.(n-1).(n-2).....3.2.1
Exercícios
5) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila. Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se:
a) não houver qualquer restrição;
b) as mulheres forem as primeiras da fila;
c) duas determinadas pessoas sempre estiverem juntas;
d) as mulheres ficarem todas juntas;
6) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:
a) começam com vogal;
b) T e R aparecem juntas;
c) começam com DE;
Chamamos de Fatorial de um número nN o valor m determinado pela expressão:
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).........3.2.1 para n 2
1! = 1
0! = 1
Ex.: 3! = 3.2.1 = 6
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Exercícios:
7) Simplifique as expressões abaixo:
a) e)
b) f)
c) g)
d)
3. ARRANJO
Resolva os problemas abaixo:
- Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações? E com n participantes?
- Com n participantes de quantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocados? Os cinco primeiros colocados? Ou os p primeiros colocados?
- A partir do resultado obtido no segundo problema obtenha uma expressão que represente de forma simplificada este problema.
Chamaremos a partir de agora de Arranjo a todos agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através da expressão simplificada obtida acima.
Exercícios:
8) Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca?
9) Um banco pede que cada cliente crie uma senha para se utilizar de seu sistema informatizado. Como essa senha deve ter 5 algarismos distintos, quantos são as possíveis senhas? E se pudesse haver repetição?
10) Num exame vestibular os candidatos foram numerados de 001 a 1000. Quantos candidatos receberam números cujos algarismos são distintos?
4. COMBINAÇÃO
Resolva os problemas abaixo:
- Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter grupos de dois alunos? Descreva esses grupos.
- E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos.
- Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de 8 alunos?
- Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de r alunos?
- A partir do resultado obtido no problema acima obtenha uma expressão que represente o caso de p alunos na turma e r no grupo.
Chamaremos de Combinação a todos os agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos elementos não importa, ou seja serão combinação de n elementos, p a p.
Exercícios:
1) Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
2) Um químico dispõe de 9 substâncias para realizar três experimentos (A, B e C). De quantos modos poderá fazer os experimentos, colocando 4 substâncias no experimento A, 3 substâncias no experimento B e 2 substâncias no experimento C?
3) Sobre duas retas paralelas marcam-se respectivamente, 7 pontos e 9 pontos. Quantos triângulos podemos determinar com estes 16 pontos?
4) Quantas diagonais tem um octógono?
5) Sabendo-se que , determine o valor de p.
VII - Resolva as questões abaixo:
- De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4 pessoas? E se forem 5 pessoas?
- Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima: .
VIII - Resolva as questões abaixo:
- Quantos são os anagramas do nome ANA?
- Quantos são os anagramas das palavras NADA e VATAPA?
- Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO?
- Sendo o conjunto A={ a1, a1,...,a1, a2, a3, a4,...,an-n1. }, quantas são as sequências de n elementos em que o elemento a1 aparece exatamente vezes?
Chamamos de Permutação com repetição a permutação de n elementos, onde temos n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nk elementos iguais a ak, de modo que n1+ n2+ +nk=n e aiaj se ij. Esta permutação será determinada pela expressão:
Exercícios:
1) Quantos são os anagramas da palavra BANANA? Quantos começam com A? Quantos terminam em consoante?
2) Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal, como mostra a figura. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias existem da origem ao ponto P(7,5)?
3) Sabendo-se que a placa dos automóveis no Brasil é composta por três letras e quatro algarismos, calcule quantas placas diferentes existem levando-se em conta que não podem haver placas com todos os algarismos nulos.
IX -Resolva a seguinte questão
1) Quantas soluções (x, y, z), com {x, y, z} N, possui a equação x+y+z=7?
Sugestão: indicando cada unidade pelo símbolo “|“, podemos indicar 2+1+4 por ||+|+||||; 3+0+4 por |||+ +||||; etc.
Definição: O número de soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = r, onde r e xi, para i = 1, 2, ..., n, são inteiros positivos, é dada pela expressão:
=
2) Num bar que vende três tipos de refrigerantes: Guaraná, Soda e Tônica. De quantas formas uma pessoas pode comprar 5 garrafas de refrigerantes?
3) Temos duas urnas A e B. De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia?
X – Resolva as questões:
1) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três salas A, B e C de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?
2) De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo, 4 pessoas?
Definição: Considerando um conjunto A e k subconjuntos de A não vazios A1, A2, A3, ..., Ak tais que:
i) Ai Aj = , para todo i j e i, j { 1, 2, 3, ..., k}
ii) A1 A2 A3 ... Ak = A
Chamaremos de partição ordenada do conjunto A, à seqüência de conjuntos: (A1, A2, A3, ..., Ak)
E de partição não ordenada de A à família { A1, A2, A3, ..., Ak}
3) De quantas maneiras 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 por time? E se os times tiverem os nomes pré-estabelecidos?
1ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?
2) Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35?
3) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par?
4) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias.
5) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante?
6) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37?
7) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521?
8) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva?
9) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas?
10) Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face?
11) Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?
12) Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática?
13) Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras de uma sala de aula?
14) Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?
15) Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que estavam na reunião?
16) Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136, e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p.
17) Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações.)
18) Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa?
19) O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27 da M36. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado?
2ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?
2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA?
3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá:
a) os homens e as mulheres agrupados.
b) homens e mulheres misturados
c) homens e mulheres alternados
4) Qual é o total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000?
5) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras comparecem sem repetição. Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta palavra é 210, calcule n.
6) Com 7 pontos distintos, 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s, quantos triângulos com a base sobre r podemos formar?
7) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?
8) Designando-se por A, B, C, D, E e F seis cidades, qual será o número de maneiras possíveis para se ir de A até F, passando por todas as demais cidades?
9) Dados 10 pontos do espaço, sendo que apenas 4 deles são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
10) Num tribunal, dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia; três são paulistas, dois mineiros, três gaúchos e dois baianos. Qual é o número de formas de se julgar consecutivamente os três paulistas?
11) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A, B, e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A, quatro ao B e um livro ao professor C?
12) Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -. Cada sequência contém n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. Qual é o mínimo valor de n de modo que cada uma das 26 letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos do nosso sistema decimal sejam representados por uma dessas sequências?
13) Na TV Minas há um programa de entrevistas, chamado “Roda Viva”. Os entrevistadores sentam-se em volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no centro da roda em uma cadeira giratória. Dos oito entrevistadores do próximo programa: dois serão da Folha de São Paulo, dois da Veja e dois de O Canal. Sabendo-se que os jornalistas serão dispostos em torno da roda de modo que colegas de trabalho permaneçam juntos, quantas disposições serão possíveis?
14) De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas, sendo p homens de alturas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo dos homens como no das mulheres, as pessoas estejam dispostas em ordem crescente de altura?
15) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não repetidos, de modo que o 1 sempre preceda o 5. Qual é a quantidade de números assim constituídos?
16) Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas, será oferecida, a 5 dos 29 alunos da turma M31, uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves. Sabendo-se que os inseparáveis, Francisco e Vinícius só viajam juntos, de quantas formas distintas podemos selecionar o grupo felizardo?
17) Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa?
3ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de cada cor.
3. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?
4. Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras distintas podem fazer isto?
5. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?
6. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?
7. Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos será um número divisível por 3).
8. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.
9. Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.
10. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
11. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
12. Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas maneiras podem posicionar-se para tirar a foto?
13. Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa O+(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.
14. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos.
15. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar?
16. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
17. Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e Ana Paula resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?
18. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall?
19. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros.
20. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado, todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.
21. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.
22. Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?
23. Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:
• Rômulo e Cotinho não entram juntos
• Mac Fly e Erika só entram juntos
Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36?
24. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas maneiras seria possível compor a mesa.
25. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta ordem?
26. Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.
4ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Qual o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas?
2. Dados os conjuntos {1, 3, 5, 7, 9} e { 2, 4, 6, 8}, calcule o número de conjuntos com elementos distintos que se pode formar, apresentando 3 números ímpares e 2 pares.
3. Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.
4. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
C
B
A
5. Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas?
6. Uma urna tem 5 bolas numeradas.
a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição?
b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição?
c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente?
7. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7?
8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3 membros em que figure sempre um determinado professor?
9. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo?
10. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?
11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comissão com 6 membros, se cada comissão deve ter, no mínimo, 3 engenheiros?
GABARITO
Lista 1.
1. a) 35 b)
2. 325
3. 2030
4. 648
5.
6.
7. 90ª.
8. 140
9.
10. 100
11.
12. 13502
13. 2450
14. 168
15. 12
16.
17. 5760
18. 212520
19. 230356
Lista 2.
1.
2. a) b) c)
3. a) b) c) impossível
4. 728
5. 4
6. 20
7. 1500
8. 4!
9.
10. 7!.8.3!
11.
12. 7
13. 192
14.
15. 60
16.
17. 12
Lista 3.
1. 72
2. 9
3. 504
4. 100
5.
6. 30
7. 48
8. 505
9. 144
10. 6840
11.
12.
13. 30.7!
14. 252
15.
16.
17. 36
18.
19. 90
20. 2580480
21. 63
22.
23. 840.20!
24.
25. a) b)
26. 14
Fonte: COLTEC – UFMG - Setor de Matemática – ANÁLISE COMBINATÓRIA - Airton Carrião.
- Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o Cruzeiro dispõe?
Resposta: dois modelos de camisa e três de calção. Assim, pelo PFC, 2 x 3 = 6 (seis distintos uniformes dispõe o Cruzeiro)
- Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, também as meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa?
Resposta: dois modelos de camisa, dois de meias e três de calção. Assim, pelo PFC, 2 x 2 x 3 = 12 (doze distintos uniformes dispõe o Cruzeiro)
Uma forma de visualizarmos o que ocorre nos exemplos acima é usando o diagrama de árvore, que é montado como no exemplo abaixo:
Para chegarmos ao 2º andar do Coltec, vindos de fora do prédio, podemos escolher entre duas portas de entrada e quatro escadas de acesso. De quantas formas distintas podemos chegar?
e1
e2
p1
e3
e4
e1
e2
p2
e3
e4
- Complete o diagrama acima para chegarmos ao terceiro andar, sabendo-se que existem duas escadas de acesso do 2º para o 3º andar.
- Sendo os conjuntos A={a1, a2, a3, .......,am} e B={b1, b2, b3, .........., bn}, deterine quantos elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (ai, bj) onde aiA e bjB, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?
PARTE II – Resolva os seguintes problemas:
- Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiros colocados?
- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,am}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (ai, aj) onde ai , ajA que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se ?
PARTE III - O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição?
ENUNCIADO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n2 maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é n1.n2.....nk.
Exercícios:
1) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?
2) A turma M.26 tem 19 alunos. Um deles será escolhido para ser representante de turma e outro para vice. Qual é o número de possíveis disposições das pessoas nas vagas?
3) De quantas maneiras podemos responder a 10 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
4) Chamamos de anagrama a um agrupamento de letras formado a partir de um conjunto de letras, tendo ou não sentido a palavra formada por esse agrupamento. Desta forma determine quantos são os anagramas formados com as letras da sigla UFMG.
2. PERMUTAÇÃO
- Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?
- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,an}, quantas sequências distintas poderemos fazer com todos os seus elementos?
Chamaremos de Permutação a todos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja,
Pn = n.(n-1).(n-2).....3.2.1
Exercícios
5) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila. Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se:
a) não houver qualquer restrição;
b) as mulheres forem as primeiras da fila;
c) duas determinadas pessoas sempre estiverem juntas;
d) as mulheres ficarem todas juntas;
6) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:
a) começam com vogal;
b) T e R aparecem juntas;
c) começam com DE;
Chamamos de Fatorial de um número nN o valor m determinado pela expressão:
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).........3.2.1 para n 2
1! = 1
0! = 1
Ex.: 3! = 3.2.1 = 6
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Exercícios:
7) Simplifique as expressões abaixo:
a) e)
b) f)
c) g)
d)
3. ARRANJO
Resolva os problemas abaixo:
- Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações? E com n participantes?
- Com n participantes de quantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocados? Os cinco primeiros colocados? Ou os p primeiros colocados?
- A partir do resultado obtido no segundo problema obtenha uma expressão que represente de forma simplificada este problema.
Chamaremos a partir de agora de Arranjo a todos agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através da expressão simplificada obtida acima.
Exercícios:
8) Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca?
9) Um banco pede que cada cliente crie uma senha para se utilizar de seu sistema informatizado. Como essa senha deve ter 5 algarismos distintos, quantos são as possíveis senhas? E se pudesse haver repetição?
10) Num exame vestibular os candidatos foram numerados de 001 a 1000. Quantos candidatos receberam números cujos algarismos são distintos?
4. COMBINAÇÃO
Resolva os problemas abaixo:
- Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter grupos de dois alunos? Descreva esses grupos.
- E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos.
- Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de 8 alunos?
- Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de r alunos?
- A partir do resultado obtido no problema acima obtenha uma expressão que represente o caso de p alunos na turma e r no grupo.
Chamaremos de Combinação a todos os agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos elementos não importa, ou seja serão combinação de n elementos, p a p.
Exercícios:
1) Com um grupo de 10 homens e 10 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
2) Um químico dispõe de 9 substâncias para realizar três experimentos (A, B e C). De quantos modos poderá fazer os experimentos, colocando 4 substâncias no experimento A, 3 substâncias no experimento B e 2 substâncias no experimento C?
3) Sobre duas retas paralelas marcam-se respectivamente, 7 pontos e 9 pontos. Quantos triângulos podemos determinar com estes 16 pontos?
4) Quantas diagonais tem um octógono?
5) Sabendo-se que , determine o valor de p.
VII - Resolva as questões abaixo:
- De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4 pessoas? E se forem 5 pessoas?
- Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima: .
VIII - Resolva as questões abaixo:
- Quantos são os anagramas do nome ANA?
- Quantos são os anagramas das palavras NADA e VATAPA?
- Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO?
- Sendo o conjunto A={ a1, a1,...,a1, a2, a3, a4,...,an-n1. }, quantas são as sequências de n elementos em que o elemento a1 aparece exatamente vezes?
Chamamos de Permutação com repetição a permutação de n elementos, onde temos n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nk elementos iguais a ak, de modo que n1+ n2+ +nk=n e aiaj se ij. Esta permutação será determinada pela expressão:
Exercícios:
1) Quantos são os anagramas da palavra BANANA? Quantos começam com A? Quantos terminam em consoante?
2) Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal, como mostra a figura. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias existem da origem ao ponto P(7,5)?
3) Sabendo-se que a placa dos automóveis no Brasil é composta por três letras e quatro algarismos, calcule quantas placas diferentes existem levando-se em conta que não podem haver placas com todos os algarismos nulos.
IX -Resolva a seguinte questão
1) Quantas soluções (x, y, z), com {x, y, z} N, possui a equação x+y+z=7?
Sugestão: indicando cada unidade pelo símbolo “|“, podemos indicar 2+1+4 por ||+|+||||; 3+0+4 por |||+ +||||; etc.
Definição: O número de soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = r, onde r e xi, para i = 1, 2, ..., n, são inteiros positivos, é dada pela expressão:
=
2) Num bar que vende três tipos de refrigerantes: Guaraná, Soda e Tônica. De quantas formas uma pessoas pode comprar 5 garrafas de refrigerantes?
3) Temos duas urnas A e B. De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia?
X – Resolva as questões:
1) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três salas A, B e C de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?
2) De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo, 4 pessoas?
Definição: Considerando um conjunto A e k subconjuntos de A não vazios A1, A2, A3, ..., Ak tais que:
i) Ai Aj = , para todo i j e i, j { 1, 2, 3, ..., k}
ii) A1 A2 A3 ... Ak = A
Chamaremos de partição ordenada do conjunto A, à seqüência de conjuntos: (A1, A2, A3, ..., Ak)
E de partição não ordenada de A à família { A1, A2, A3, ..., Ak}
3) De quantas maneiras 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 por time? E se os times tiverem os nomes pré-estabelecidos?
1ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?
2) Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35?
3) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par?
4) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias.
5) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante?
6) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37?
7) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521?
8) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva?
9) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas?
10) Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face?
11) Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?
12) Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática?
13) Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras de uma sala de aula?
14) Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?
15) Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que estavam na reunião?
16) Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136, e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p.
17) Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações.)
18) Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa?
19) O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27 da M36. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado?
2ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?
2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA?
3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá:
a) os homens e as mulheres agrupados.
b) homens e mulheres misturados
c) homens e mulheres alternados
4) Qual é o total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000?
5) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras comparecem sem repetição. Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta palavra é 210, calcule n.
6) Com 7 pontos distintos, 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s, quantos triângulos com a base sobre r podemos formar?
7) Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?
8) Designando-se por A, B, C, D, E e F seis cidades, qual será o número de maneiras possíveis para se ir de A até F, passando por todas as demais cidades?
9) Dados 10 pontos do espaço, sendo que apenas 4 deles são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
10) Num tribunal, dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia; três são paulistas, dois mineiros, três gaúchos e dois baianos. Qual é o número de formas de se julgar consecutivamente os três paulistas?
11) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A, B, e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A, quatro ao B e um livro ao professor C?
12) Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -. Cada sequência contém n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. Qual é o mínimo valor de n de modo que cada uma das 26 letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos do nosso sistema decimal sejam representados por uma dessas sequências?
13) Na TV Minas há um programa de entrevistas, chamado “Roda Viva”. Os entrevistadores sentam-se em volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no centro da roda em uma cadeira giratória. Dos oito entrevistadores do próximo programa: dois serão da Folha de São Paulo, dois da Veja e dois de O Canal. Sabendo-se que os jornalistas serão dispostos em torno da roda de modo que colegas de trabalho permaneçam juntos, quantas disposições serão possíveis?
14) De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas, sendo p homens de alturas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo dos homens como no das mulheres, as pessoas estejam dispostas em ordem crescente de altura?
15) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não repetidos, de modo que o 1 sempre preceda o 5. Qual é a quantidade de números assim constituídos?
16) Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas, será oferecida, a 5 dos 29 alunos da turma M31, uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves. Sabendo-se que os inseparáveis, Francisco e Vinícius só viajam juntos, de quantas formas distintas podemos selecionar o grupo felizardo?
17) Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa?
3ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de cada cor.
3. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?
4. Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras distintas podem fazer isto?
5. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?
6. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?
7. Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos será um número divisível por 3).
8. Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.
9. Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.
10. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
11. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
12. Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas maneiras podem posicionar-se para tirar a foto?
13. Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa O+(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.
14. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos.
15. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar?
16. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
17. Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e Ana Paula resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?
18. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall?
19. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros.
20. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado, todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.
21. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.
22. Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?
23. Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:
• Rômulo e Cotinho não entram juntos
• Mac Fly e Erika só entram juntos
Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36?
24. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas maneiras seria possível compor a mesa.
25. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta ordem?
26. Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.
4ª Lista de Exercícios
Análise Combinatória
1. Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Qual o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas?
2. Dados os conjuntos {1, 3, 5, 7, 9} e { 2, 4, 6, 8}, calcule o número de conjuntos com elementos distintos que se pode formar, apresentando 3 números ímpares e 2 pares.
3. Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.
4. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
C
B
A
5. Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas?
6. Uma urna tem 5 bolas numeradas.
a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição?
b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição?
c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente?
7. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7?
8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3 membros em que figure sempre um determinado professor?
9. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo?
10. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?
11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comissão com 6 membros, se cada comissão deve ter, no mínimo, 3 engenheiros?
GABARITO
Lista 1.
1. a) 35 b)
2. 325
3. 2030
4. 648
5.
6.
7. 90ª.
8. 140
9.
10. 100
11.
12. 13502
13. 2450
14. 168
15. 12
16.
17. 5760
18. 212520
19. 230356
Lista 2.
1.
2. a) b) c)
3. a) b) c) impossível
4. 728
5. 4
6. 20
7. 1500
8. 4!
9.
10. 7!.8.3!
11.
12. 7
13. 192
14.
15. 60
16.
17. 12
Lista 3.
1. 72
2. 9
3. 504
4. 100
5.
6. 30
7. 48
8. 505
9. 144
10. 6840
11.
12.
13. 30.7!
14. 252
15.
16.
17. 36
18.
19. 90
20. 2580480
21. 63
22.
23. 840.20!
24.
25. a) b)
26. 14
Fonte: COLTEC – UFMG - Setor de Matemática – ANÁLISE COMBINATÓRIA - Airton Carrião.
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