2 - (Uepg – PR) Dadas as funções definidas por ...

(Uepg – PR) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)^x e g(x) = (5/4)^x, é correto afirmar:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.

(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.

(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)

(08) f [g(0)] = f(1)

(16) f(– 1) + g(1) = 5
                                2

Para resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós somamos os números das afirmativas corretas.Vamos então analisar cada uma das afirmativas propostas:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.

Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:

f (x) = g (x)


x = – x

O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:

f(0) = 1

g(0) = 1

As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.

(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.

Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0 e 1, a função será decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.

(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)

Substituindo cada valor nas funções, temos:

g(– 2) . f(– 1) = f(1)

Essa afirmativa é verdadeira.

(08) f [g(0)] = f(1)

Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de g(0), temos então:

g(0) = 1

Sendo assim:

f [g(0)] = f [1] = f(1)

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

(16) f(– 1) + g(1) = 5
                            2

Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma

f(– 1) + g(1) = 5 + 5
                     4   4 
f(– 1) + g(1) = 10 = 5
​                      4    2 

Essa afirmativa também é verdadeira.

Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.

Gráficos:

(x) = (4/5)^x ;

g(x) = (5/4)^x