16) Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja área lateral é igual a área da base . Nesse caso temos que ...

16) Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm de altura e cuja área lateral é igual a área da base.

Nesse caso temos que descobrir quanto vale a aresta da base do prisma?

 

Como o prisma é hexagonal regular, sua base é formada por seis triângulos equiláteros. 
Ou seja,

Ab = 6 * (ℓ² √3) / 4 =

Ab =(3ℓ²√3) / 2 

Por ser um prisma hexagonal, ele possui 6 (seis) faces laterais retangulares, ou seja, 

Al = 6 * ℓ * h (como altura é igual a 6) 

Al = 36 * ℓ 

mas,

Como foi proposto pelo problema,  a área lateral é igual a área da base temos: 

Al = Ab 

36ℓ = (3ℓ²√3) / 2 (multiplicando ambos os membros por 2) 

2*36ℓ = 2*(3ℓ²√3) / 2

72ℓ = 3*ℓ² * √3 (dividindo-se ambos os membros por ℓ) 

72ℓ/ ℓ  = 3* ℓ² * √3/ ℓ

72 = 3 * ℓ * √3 

3 * ℓ * √3 = 72 (dividindo-se ambos os membros por 3) 

3. ℓ √3/3 = 72 / 3 

ℓ √3 = 24 

ℓ = 24 / √3 (racionalizando o denominador) 

ℓ = 24√3 / 3 

ℓ = 8√3 ==> Valor do lado do prisma 

Volume do prisma: 

Ab . h (área da base vezes altura) 

V = h . (3ℓ²√3) / 2 

V = 6 * [3* (8√3)² * √3] / 2 

V = 3 * [3 * 64 * 3 * √3] 

V = 3 * 576√3 

V = 1728√3 cm³ 

Resposta: o prisma tem volume igual a 1728√3 cm³. 

QSL?

Crédito da imagem: http://pt.slideshare.net/fabifabi2/geometria-espacial-cilindros