1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)

a) 1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6 

- provemos que vale para n=1 

1² = 1(1+1)(2.1+1)/6 = 2.3/6 = 1 OK 

- Supondo que vale para n=k 

Hipótese da Indução 

1²+2²+3²+....+k²=k(k+1)(2k+1)/6 

Provaremos que vale para n = k+1, ou seja, temos que chegar : 

1²+2²+3²+....+k²+(k+1)²=(k+1)((k+1)+1)...‡ = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 

De fato, pela Hipótese temos: 

1²+2²+3²+....+k²+ (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² 

= [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)²]/6 

= (k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6 

= (k+1)[2k² + k + 6k + 6]/6 

= (k+1)[2k²+7k+6]/6 

= (k+1)(k+2)(2k+3)/6 

cqd. 

b) 2^n>3n . . n>=4 

- vale para n=4 

2^4=16 > 3.4 = 12 

- Supondo que vale para n=k 

Hipótese de Indução: 

2^k > 3k 

Provaremos que vale para n=k+1 

2^(k+1) > 3(k+1) 

De fato, 

Pela Hipótese de Indução 

2^(k+1) = 2^k.2 > 3k.2 = 6k > 3k + 3 = 3(k+1) *(k>=4) 

cqd. 

c) 1+3+5+...+(2n-1)=n² 

-vale para n=1 

1 = 1² 

- Supondo que vale para n=k 

Hipótese da Indução 

1+3+5+...+(2k-1) = k² 

Provaremos que vale para n=k+1 

1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)² 

De fato, 

1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) = k² + (2k+1) 

= (k+1)² 

C.Q.D.