Existe um tipo de questão que cai muito em prova que é aquela envolvendo o tempo que duas ou mais torneiras levam para juntas encher um tanque. Vou mostrar como é que se resolve tal questão de forma “lusitana” e, logo depois, vou dar um “macete” bem legal que vai facilitar, e muito, a sua vida. Vejamos a questão abaixo:

(FCC) Abrindo-se uma torneira A, um reservatório ficará cheio em 3 horas. Abrindo-se a torneira B, encherá o reservatório em 2 horas. Em quanto tempo conseguiremos encher o reservatório caso as duas torneiras sejam abertas simultaneamente?

a)1,2 hora
b) 2,5 horas
c) 1,3 hora
d)1,4 hora
e)meia-hora

Resolução:

Vamos à primeira forma de resolver, sem inventar nenhuma “bruxaria” para resolver a questão!
A torneira A enche o tanque em 3 horas. Com isso, temos:
3 horas ———- 1 tanque
1 hora ————x
x = 1/3 do tanque

Para a torneira B, temos:
2 horas ———– 1 tanque
1 hora ————- y
y = ½ do tanque

Logo, em 1 hora, as duas torneiras juntas terão enchido 1/3+1/2=5/6 do tanque.

Com isso, temos que as duas torneiras vão encher juntas o reservatório em:

1 hora ————— 5/6 do tanque
T horas ————— 1 tanque

5/6.T=1
T=6/5=1,2 hora

Gabarito: A

A solução que dei acima não é a que eu te aconselharia a fazer numa prova, pois existe uma outra em que você irá rapidamente achar a resposta, sem muito trabalho.

A ideia é que sempre que quisermos achar o tempo em que duas torneiras enchem um reservatório quando abertas ao mesmo tempo, iremos calcular esse tempo como sendo uma fração em que o numerador será o produto dos tempos e o denominador será a soma (soma dos inversos). Isso sempre funciona.

Logo, no exemplo acima, o tempo será de:

t=(2×3)/(2+3)=6/5=1,2 hora

Viram como é fácil?

Agora, sei que algumas pessoas já conhecem este tipo de questão e sabem que existem variações do mesmo. Se você acha que este macete não serve para os demais casos, ledo engano, ele serve sim!

Imagine o caso em que temos uma torneira e um ralo. A torneira continuaria sendo responsável por encher o reservatório num dado tempo. Já o ralo seria o responsável pelo esvaziamento do reservatório num dado tempo.

Continuaremos resolvendo esta questão por produto sobre soma dos tempos. Se você conhece física, percebeu que esta fórmula lembra a da associação de resistores em paralelo! Se você nunca viu “mais gordo”, desconsidere o que eu disse.

O que eu quero que você saiba é que quando temos um elemento que é responsável por esvaziar em vez de encher o reservatório, vamos utilizar um número negativo para representar na fórmula este tempo. Exemplo:
Abrindo-se uma torneira A, um reservatório ficará cheio em 2 horas. No entanto, existe um sifão que esvazia o reservatório em 12 horas. Em quanto tempo conseguiremos encher(ou esvaziar) o reservatório?

Façamos:

t=(-12×2)/(-12+2)=(-24)/(-10)=2,4 horas

Temos que o tempo será de 2,4 horas e que tal tempo será o de enchimento, já que o mesmo apresentou um valor positivo.

Caso tivéssemos encontrado um resultado negativo, teríamos que o resultado final seria o esvaziamento do reservatório.

E se tivermos três torneiras? Por exemplo, uma que enche o tanque em 1 hora, a outra em 2, a outra em 3… cuidado!!! Neste caso, não podemos pegar os três tempos e fazer o produto sobre a soma.
Se quisermos aproveitar o “bizu” (isso é linguagem dos meus tempos de turma IME-ITA),ou seja, o macete, temos de pegar dois tempos, fazer o produto sobre soma dele e repetir o procedimento entre o resultado encontrado e o terceiro tempo que ainda não foi utilizado.

Exemplo:

Abrindo-se a torneira A, um reservatório ficará cheio numa hora. Abrindo-se a torneira B, encherá o reservatório em 2 horas, e abrindo-se a torneira C, encherá em 3 horas. Quando estará o reservatório cheio de água se abrirmos as torneiras simultaneamente?

Resolução:

Escolhendo dois tempos quaisquer dos três, temos:
t=2×3/(2+3)=1,2 h

Reparem que eu ainda não utilizei o tempo de 1 hora. Com isso, teremos:

t=(1×1,2)/(1+1,2)=(1,2)/(2,2)=6/11 h

Este será o tempo em que as três torneiras irão encher o reservatório, caso abertas ao mesmo tempo.

Na realidade, pela primeira resolução que dei para este tipo de questão, podemos calcular este tempo numa só conta fazendo a soma dos inversos dos tempos:

1/1+1/2+1/3=11/6

E, após fazer esta conta, devemos inverter o resultado encontrado, o que vai dar a mesma resposta de antes, 6/11 h.

Esta questão faz parte do meu curso de matemática para o INSS ,sendo que também estou dando os cursos de física para Polícia Rodoviária Federal e Raciocínio Lógico/FCC para TCE/AP.

O curso de matemática para o INSS ficará no ar até a prova, então se você ainda não se matriculou pode fazê-lo que irei ficar disponível para tirar as suas dúvidas até que a prova aconteça!

Abraços
Prof Alexandre Azevedo
alexandre@estrategiaconcursos.com.br

http://www.estrategiaconcursos.com.br/blog/dica-matematica-inssfcc-questoes-de-torneira-4/