Equações do 2º grau

 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

 Considere a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.

 Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

                           

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:

S= x₁ + x₂ = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x₁ . x₂ = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x² - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x² - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é  .

Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz  , a outra raíz será  .

    Assim:

Logo, x² - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

 FORMA FATORADA

 Considere a equação ax² + bx + c = 0.

 Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax² + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x² - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x² - 5x + 6 = 0, obtemos x₁= 2 e x₂= 3.

Sendo a= 1, x₁= 2 e x₂= 3, a forma fatorada de x² - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x² - 20x + 50 = 0.
     

Solução

Calculando as raízes da equação 2x² - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x₁=x₂= 5, a forma fatorada de 2x² - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)²=0

• Escreva na forma fatorada a equação x² + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

 Observe as equações:

x⁴ - 13x² + 36 = 0

9x⁴ - 13x² + 4 = 0

x⁴ - 5x² + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x⁴, um termo em x² e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

x⁴ - 8x² = 0

3x⁴ - 27 = 0

Cuidado!

      x⁴ - 2x³ + x² + 1 = 0               6x⁴ + 2x³ - 2x = 0            x⁴ - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática

• Substitua x⁴ por y² ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x² por y.
• Resolva a equação ay² + by + c = 0
• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay² + by + c = 0.

       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay² + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ - 13 x² + 36 = 0.

Solução

Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:

                   

                     y² - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

                  y'=4     e      y''=9

Como x²= y, temos:

                   

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ + 4x² - 60 = 0.

Solução

Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:

                       y² + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

                     y'=6   e  y''= -10

Como x²= y, temos:

                    

Logo, temos para o conjunto verdade:.

Determine a soma das raízes da equação . Solução Utilizamos o seguinte artifício: Assim:              y2 - 3y = -2             y2 - 3y + 2 = 0            y'=1  e  y''=2 Substituindo y, determinamos: Logo, a soma das raízes é dada por:          Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0 Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xn por y, obtendo:         ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau. Exemplo: resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0. Solução Fazendo x3=y, temos:                 y2 + 117y - 1.000 = 0 Resolvendo a equação, obtemos:               y'= 8  e  y''= - 125 Então:               Logo, V= {-5, 2 }. Composição da equação biquadrada  Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula: (x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0 Exemplo: Compor a equação biquadrada cujas raízes são:   Solução a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0                      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0  x2(x2 -49) = 0                                                 (x2-a2) (x2-b2) = 0  x4 - 49x2 = 0                                                   x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0  PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA               Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.              De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim: Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:  1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.                              x1 + x2 + x3 + x4 = 0  2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.  3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a . EQUAÇÕES IRRACIONAIS Considere as seguintes equações: Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações sãoirracionais. Ou seja:                                    Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.  RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL          A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.          Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).        É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. Solução                    Logo, V= {58}. Solução                  Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. Solução Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. Solução            Logo, V={9}; note que  é uma raiz estranha a essa equação irracional. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU  Observe o seguinte problema:  Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura. De acordo com os dados, podemos escrever: 8x + 4y = 64 2x . ( 2x + 2y) = 192   4x2 + 4xy = 192 Simplificando, obtemos: 2x + y = 16                 1 x2 +xy = 48                 2 Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau. Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: Assim:    2x + y = 16        1                         y = 16 - 2x Substituindo y em  2 , temos:                x2 + x ( 16 - 2x) = 48               x 2 + 16x - 2x2 = 48                 - x2  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.                   x2 - 16x + 48 = 0 x'=4       e        x''=12 Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'=16 - 2 . 4 = 8 y''=16 - 2 . 12 = - 8 As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8). desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:                     Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m                     Largura              =2x = 2. 4 = 8m Verifique agora a solução deste outro sistema:     Isolando y em 1                y - 3x = -1  y = 3x - 1 Substituindo em  2            x2  - 2x(3x - 1)  = -3            x2 - 6x2 + 2x    = -3              -5x2 + 2x + 3    = 0    Multiplicando ambos os membros por -1.            5x2 - 2x - 3     = 0 x'=1       e    x''=- Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:                                              As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  . Logo, temos para conjunto verdade:  PROBLEMAS DO 2º GRAU  Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas: Sequência prática Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática. Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau: Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja . Solução Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por . Temos estão a equação: . Resolvendo-a:                                      Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro. Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7. Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. Solução Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x. Observe: Número:                10x + y Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x. Temos, então, o sistema de equações:                                                Resolvendo o sistema, temos:                                                 Isolando y em   1 :                     -x + y = 3   y= x + 3 Substituindo y em 2: xy   =  18 x ( x + 3)      =   18 x2 + 3x     =   18 x2 + 3x - 18   =   0 x'= 3  e  x''= -6 Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:                                  y'= 3 + 3 = 6                                  y''= -6 + 3 = -3 Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}. Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número 36 ( x=3  e y=6). Resposta: O número procurado é 36. Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente. Solução Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque. Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:                         Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão  do tanque; observe a equação correspondente:                         Resolvendo-a, temos:                       6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )                       6x + 30 + 6x = x2 + 5x                        x2 - 7x - 30 = 0                        x'= - 3      e   x''=10 Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10. Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas. Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar? Solução Podemos representar por:     Resolvendo-a:     Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar. http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/