Arranjo Simples

Por Evandro Makiyama

A Fórmula do Arranjo Simples em combinatória, denotado por A_n,k, onde arranjamos k objetos de n objetos dados, é uma fórmula muito importante dada por:

É muito útil na solução de problemas de contagem onde a ordem é levada em consideração.

Ela pode ser pensada da seguinte forma: para arranjarmos k objetos de n objetos dados podemos primeiramente escolher k objetos de n, que pela Fórmula Binominal podemos fazer de

maneiras diferentes, e logo em seguida multiplicamos pelo número de maneiras que podemos ordenar estes k objetos escolhidos, que é de k! maneiras:

Outra forma de derivarmos essa fórmula é usarmos o princípio fundamental da contagem da Análise Combinatória, assim: podemos escolher o primeiro objeto de n formas diferentes, o segundo de (n-1) formas diferentes, e assim por diante, até o k-ésimo que podemos escolher de (n-(k-1)) formas diferentes, multiplicando tudo temos n.(n-1)...(n-(k-1))= A_n,k. Para  ver isto basta abrir a fórmula de A_n,k.

Vamos resolver um problema para podermos fixar melhor estas idéias:

Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?

Bem, nesse caso a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:

Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.

Então este é o número de maneiras de se premiar.

Suponha agora que resolvemos premiar o primeiro colocado com um sorvete e o segundo com um chocolate. Nesse caso, a ordem é importante, não basta saber quem foram os dois primeiros, é preciso saber quem foi o primeiro e quem foi o segundo. Assim, precisamos usar a fórmula do arranjo que resulta em:

maneiras de se premiar.

Bibliografia:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arranjo_(matemática)#Arranjo

História da Matemática, Carlo, B. Boyer

http://www.infoescola.com/combinatoria/arranjo-simples/