COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 9 CASAS DE UM TABULEIRO DE JOGO DA VELHA DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 3 ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 15.
Desafio
Coloque os algarismos de 1 a 9 dispostos nas 9 casas de um tabuleiro de Jogo da Velha, de maneira que a soma dos 3 algarismos de qualquer reta e qualquer diagonal seja igual a 15.
???
???
???
Solução do Desafio 008
Atualmente há muitas referências para a solução dos chamados quadrados mágicos (este é o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um raciocínio intuitivo para buscar a solução deste desafio:
Nossa primeira preocupação será encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo deverá ser o mais natural possível, consistindo em organizar famílias do menor para o maior algarismo.
Começando com a família do 1, poderíamos pensar em 2 para o próximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Então, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior possível, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a família de grupos de algarismos começando com 1:
159
168
A família do 1 só possui 2 grupos e não foi possível utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.
A próxima família será dos grupos começando com 2. e os outros dois membros deverão somar 13:
249
258
267
Algarismos não utilizados: 1, 3.
Família do 3:
348
357
Algarismos não utilizados: 1, 2, 6, 9.
Família do 4:
429
438
456
Algarismos não utilizados: 1, 7.
Família do 5:
519
528
537
546
Os 9 algarismos foram utilizados!
Família do 6:
618
627
645
Algarismos não utilizados: 3, 9.
Família do 7:
726
735
Algarismos não utilizados: 1, 4. 8, 9.
Família do 8:
816
825
834
Algarismos não utilizados: 7, 9.
Família do 9:
915
924
Algarismos não utilizados: 3, 6. 7, 8
A configuração do chamado "Jogo da Velha" é conhecida como Matriz 3 × 3, isto é, um conjunto entrelaçado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 células. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 células de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado Mágico 3 × 3
Considerações sobre o Quadrado Mágico 3 × 3 cuja soma é igual a 15:
A célula central pertence simultaneamente à linha central, à coluna central e às duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles é comum a todos.
A familia do 5 é a única que reúne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posição central da matriz:
5
Por observação, verificamos que há 4 famílias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 famílias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, há sempre um grupo contendo o algarismo 5.
Observamos ainda que, das células vértices do quadrado, são gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as famílias de 3 grupos, isto é, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posições:
2 4
5
6 8
Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto é, 1, 3, 7 e 9 nas células ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:
294
753
618
O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfatória ao desafio proposto. Porém devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.
O fato de escolhermos o primeiro vértice para a posição do algarismo 2 foi de pura conveniência porque poderíamos escolher qualquer dos demais vértices para iniciar o raciocínio.
Geometricamente, a escolha dos demais vértices significa promover uma "rotação" na matriz onde o eixo de rotação seria perpendicular ao papel. Vamos então escolher o sentido anti-horário para rotações sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 soluções possíveis:
438
951
276
816
357
492
672
159
834
Tomemos a primeira solução e imaginemos um outro tipo de rotação na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rotação de 180 graus (os números permanecem como são):
492
357
816
Se nesta nova solução promovermos mais 3 rotações de 90 graus com o eixo perpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 soluções possíveis:
276
951
438
618
753
294
834
159
672
Resposta:Ao reunirmos todas as soluções acima teremos um conjunto de 8 quadrados mágicos como solução ao desafio proposto:
294
753
618
438
951
276
816
357
492
672
159
834
492
357
816
276
951
438
618
753
294
834
159
672
Nota Final:Poderíamos ainda pensar em promover uma rotação com eixo horizontal, mas em 2D, como veríamos, as soluções seriam redundantes, isto é, coincidiriam com as soluções já encontradas.
http://www.somatematica.com.br/desafios.php
QUADRADOS MÁGICOS
Na antiguidade havia pessoas que atribuíam poderes místicos aos quadrados mágicos e, por essa razão, esses quadrados eram usados como amuletos.
O que é um quadrado mágico?
A figura abaixo é um quadrado mágico:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Esse é um quadrado (3 por 3), formado por 3 linhas e 3 colunas e, portanto, com um total de 9 casas.
Nessas casas estão dispostos os números de 1 a 9, de tal forma que a soma dos elementos de cada linha, coluna e diagonais é sempre 15.
Assim, temos:
Primeira linha: 4 + 9 + 2 = 15
Segunda linha: 3 + 5 + 7 = 15
Terceira linha: 8 + 1 + 6 = 15
Primeira coluna: 4 + 3 + 8 = 15
Segunda coluna: 9 + 5 + 1 = 15
Terceira coluna: 2 + 7 + 6 = 15
Uma diagonal: 4 + 5 + 6 = 15
Outra diagonal: 2 + 5 + 8 = 15
Temos que, para o quadrado (3 por 3), a constante é 15.
Essa constante era chamada número planetário.
Se o leitor quiser construir um quadrado mágico (4 por 4), portanto com 16 casas, deverá antes descobrir o número planetário para o quadrado dessa forma.
Em seguida, distribuir os números de 1 a 16 nas linhas e colunas, de tal forma que a soma, incluindo as diagonais seja sempre uma constante que, no caso do quadrado (4 por 4), é o número planetário 34.
Vejamos um quadrado mágico (4 por 4):
15
10
3
6
4
5
16
9
14
11
2
7
1
8
13
12
Nesse quadrado os números de 1 a 16 estão dispostos de tal forma que, em cada linha, coluna e diagonais, a soma é 34.
Um outro exemplo de quadrado mágico (4 por 4):
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Como curiosidade, esse último quadrado aparece numa pintura intitulada Melancolia, feita em 1514 por Albrecht Durer (observe que o 15 e 14 “formam” 1514). Sobre esse quadrado algumas surpresas serão vistas mais adiante.
Existem mais de 20 bilhões de agrupamentos possíveis de 1 a 16 num quadrado (4 por 4), mas somente cerca de 800 serão quadrados mágicos (soma das linhas, colunas e diagonais iguais a 34).
Para o quadrado mágico (5 por 5), ou seja, com 25 casas, usando os números de 1 a 25, o número planetário é 65.
Existe uma fórmula para obtermos o número planetário de um dado quadrado mágico:
n + n3
S = _____
2
S é o número planetário;
n é o “lado” do quadrado e tem que ser maior que dois.
Assim, para o quadrado (3 por 3), o número planetário é obtido da seguinte forma:
3 + 33
S = ______ = 15
2
Daí, se o leitor quiser construir um quadrado mágico (7 por 7), portanto com 49 casas, terá de descobrir o número planetário, que, usando a fórmula dá 175.
Em seguida, terá de distribuir os números de 1 a 49 em 49 casas, de tal forma que a soma das linhas, colunas e diagonais sejam iguais a 175.
Vejamos como é que se pode facilmente construir um quadrado mágico 4 por 4.
Inicialmente distribua os números de 1 a 16, conforme demonstrado em seguida:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A seguir inverta as diagonais em relação centro.
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
E aí já temos um quadrado mágico, no qual a soma das linhas, colunas e diagonais dá 34.
E, surpreendentemente, podemos troca a posição das colunas e ele continuará sendo um quadrado mágico.
Por exemplo, trocando a posição da segunda e terceira colunas:
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Esse quadrado mágico é bastante interessante.
Como já vimos o seu número planetário é 34.
Além disso, ele possui outras propriedades:
A soma dos números dos cantos também dá 34.
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Os cinco quadrados 2 por 2, os dos cantos e o central também somam 34.
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Nas colunas, um par de números adjacentes soma 15 e o outro 19.
Observe os números destacados.
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Sabe o que ocorre?
3 + 5 + 12 + 14 = 2 + 8 + 9 + 15
e mais: 3² + 5² + 12² + 14² = 2² + 8² + 9² + 15²
Falamos sobre números planetários que, no exemplo anterior é o número 34.
Por que essa denominação de número planetário?
A origem desse nome remontaria à antiguidade, em razão do estabelecimento de uma relação entre os quadrados mágicos e os planetas e teria sido feita pelos sabeístas (adoradores do fogo, do sol e dos astros).
A disposição:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
é encontrada desde o século X e era usada como amuleto ou simpatia. Conta-se que, no Oriente, essa configuração era desenhada em pedaços de algodão não utilizado anteriormente para, se colocados sob os pés de uma parturiente, facilitar o parto.
Em 1533, Agrippa Van Nettesheim (um “doidão” da época) estabeleceu uma conjugação dos quadrados mágicos com os planetas e os metais.
Pela influência de Agrippa, utilizava-se um grande amuleto com sete carreiras de quadrados mágicos, com a seguinte simbologia:
quadrado mágico de 9 elementos, em chumbo, simbolizando Saturno;
de 16 elementos, em estanho, simbolizando Júpiter;
de 25 elementos, em ferro, simbolizando Marte;
de 36 elementos, em ouro, simbolizando o Sol;
de 49 elementos, em cobre, simbolizando Vênus;
de 64 elementos, em liga de prata, simbolizando Mercúrio;
de 81 elementos, em prata, simbolizando a Lua (a Lua era considerada planeta).
Acreditava-se que o uso desse amuleto dava sorte.
Vai ver que o ex-deputado João Alves tem um.
http://www.testonline.com.br/qmag.htm
Nenhum comentário:
Postar um comentário