Fatoração

 

Dentre os vários artigos publicados neste site, temos um que trata a decomposição de números naturais em fatores primos. Neste artigo denominamos fatoração a decomposição de um número natural em um produto de fatores primos.

Vemos agora um outro tipo de fatoração.

Definição de Fatoração

A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.

Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:

Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.

A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.

Fator Comum: ax + bx = x(a + b)

A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.

No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:

Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:

Exemplos

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.

Vejamos o exemplo abaixo:

Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:

Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:

Assim sendo:

Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:

No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:

E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:

Exemplos

Diferença de Dois Quadrados: a² - b² = (a + b)(a - b)

Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.

Vejamos este exemplo na sequência:

Visto que a² - b² = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:

Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).

Logo:

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.

Como fatorar o trinômio abaixo?

Se o pudermos escrever como a² + 2ab + b² estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)².

Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x² no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.

Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a² + 2ab + b² devemos chegar a uma variação do trinômio original:

Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a² + 2ab + b² termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.

Quando substituímos a por x em a² chegamos ao x² original.

Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 ^_. x ^_. 7, equivalente ao 14x original.

E finalmente substituindo b por 7 em b² chegamos a 7², equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.

Como foi possível escrever x² + 14x + 49 na forma a² + 2ab + b², então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:

Portanto:

Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x² + 14x + 49 em a² + 2ab + b² levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse x² + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.

Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios quadrados perfeitos.

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a² - 2ab + b² = (a - b)²

Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.

Vejamos este outro trinômio:

Como 2x é a raiz quadrada de 4x², do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:

Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um trinômio quadrado perfeito:

Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a² - 2ab + b² = (a - b)²:

Logo:

Exemplos

Cubo Perfeito - Soma: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da soma de dois termos.

Se temos um polinômio a³ + 3a²b + 3ab² + b³ podemos fatorá-lo como (a + b)³.

Vamos analisar o polinômio abaixo:

Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³, substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y³:

Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via substituição de a e b em a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito:

Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:

Exemplos

Cubo Perfeito - Diferença: a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da diferença de dois termos.

O polinômio a³ - 3a²b + 3ab² - b³ é fatorado como (a - b)³.

Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior:

Extraímos a raiz cúbica de 8a³ que é 2a e de 343b³ que é 7b e então substituímos a e b respectivamente por 2a e 7b em a³ - 3a²b + 3ab² - b³:

Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos um cubo perfeito:

Então:

Exemplos

 

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Decomposição de um Número Natural em Fatores Primos

 

 

A decomposição de um número natural em um produto de fatores primos é chamada de fatoração.

A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.

A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.

Tópico relacionadoCalculadora para Decomposição em Fatores Primos

Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez. Quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.

Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

• 3
• 7
• 7

Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3 . 7².

Método para a Decomposição em Fatores Primos

Para realizarmos a decomposição de um número em fatores primos, devemos procurar pelo menor número primo capaz de dividi-lo (divisão exata) e realizarmos a sua divisão por este número enquanto for possível. Depois devemos procurar pelo próximo número primo capaz de dividi-lo e continuar neste procedimento até que o quociente da divisão resulte em 1. Neste momento teremos todos os fatores primos que compõe tal número.

Tomemos como exemplo o número 360. O primeiro número primo capaz de dividi-lo é o número 2:

Note que à esquerda da barra colocamos o número que estamos fatorando e todos os quocientes que vamos encontrando durante o processo. À direita dela, vamos colocando todos os divisores primos que causam a divisão exata.

O quociente 180 ainda é divisível por 2, por isto ele será utilizado novamente como divisor:

90 continua sendo divisível por 2, logo dividimos novamente por 2:

45 não é mais divisível por 2 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 3:

Tópico relacionadoTabela com os 100.000 primeiros Números Primos

15 também é divisível por 3:

5 não é divisível por 3 e o próximo número primo capaz de dividi-lo é o próprio número 5:

Neste momento chegamos finalmente ao quociente 1. Temos então que o número 360 pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

2, 2, 2, 3, 3 e 5.

Podemos dizer então que: 360 = 2³ . 3² . 5.

http://www.matematicadidatica.com.br/DecomposicaoFatoresPrimos.aspx