Inequações

matemática

funções

Inequações

Por Thiago Salvador

Professor de Matemática do Colégio Qi

INTRODUÇÃO

Ao longo do módulo, o estudo de inequações - que caem no Enem - será dividido em algumas partes. Relembraremos os símbolos de comparação e também abordaremos os diversos tipos através de alguma reflexão e elaboração de exercícios. Por fim, mostraremos como resolver a inequação quando há uma composição de funções. 

Simbologia

Escolha um número qualquer, por exemplo, o cinco. Assim, marcando-o na reta numérica teremos o desenho:

Quais são os números a direita do 5? Temos, por exemplo, o 5,23, ou 6, ou 7,943, ou 8,11 etc. Esses números possuem algo em comum, todos são maiores que o próprio 5. Então escrevemos: 5 ≤ 5,23 , 6 > 5 , 5 < 7,943 e 8,11≤ 5. Repare que o “bico” do símbolo sempre está apontado para o menor número. 

Outra dúvida: o que é esse traço embaixo do símbolo de “<” ou “>”? Ele é o símbolo de igual. Assim, quando escrevemos 8,11 ≥ 5 dizemos que o 8,11 é maior ou igual ao 5. Nesse caso, o 8,11 é maior. No entanto, poderíamos escrever sem problemas: 5 ≤ 5, pois 5 é igual ao 5 . Mas nunca 5 < 5, visto que 5 não é menor que ele mesmo.

Lembre-se: esses símbolos de “<”, “>”, “≤” e “≥” são símbolos feitos para comparação. E é isso determina a própria definição de inequação: descobrir números que satisfaçam essas comparações.

INEQUAÇÕES E SUAS RESOLUÇÕES

Resolva as inequações: 

a) x – 5 > 9

A pergunta que está sendo feita é: quais são os valores que retirados 5 unidades ficam maiores que 9? Para isso acontecer, esses números devem ser maiores que 14. Pois, 14 – 5 = 9. Assim, nossa resposta é x > 14. Mas qual é a relação entre o 5 com o 9 que resulta em 14? Basta somá-los. Então, no fundo, resolver uma inequação como essa não é tão diferente de resolver uma equação. Vejamos outro exemplo.

b) 2x + 6 < 30 

Para 2x + 6 ser menor que trinta, basta que o 2x seja menor que 24 (30-6). Assim, x deve ser menor que 12. Resposta x menor que 12. Ou em outros termos: 

2x < 30 – 6

2x < 24

x < 24/2

Resposta: x < 12

c) 15 – x < 12 

-x < 12 - 15

-x < -3 

Vamos refletir um pouco como ficará nossa resposta. Quais são os números que ao trocar de sinal ficam menores que -3? O 4, ou o 2, ou o 765,43. Ou seja, são números maiores que o três. Assim nossa resposta final é: x > 3. Então a dica aqui é: caso o x fique negativo, troque o sentido do sinal. Vejamos outro exemplo:

d) -3x + 14 -95 

-3x -95 - 14 

-3x -109-x < -3

x ≥−109−3

Resposta: x ≥1093

e) 105−15x>1 

105−15x>100

5 - 15x >0

-15x > -5

x < 1/3

Resposta: x <1/3

f) log3 (2x-10) > 4

2x – 10 > 34

2x – 10 > 81

2x > 81 + 10

2x > 91

x > 91/2

Além disso, lembre-se que 2x – 10 > 0. Ou 2x > 10. x > 10/2 . x > 5. Como 91/2 é maior que 5, então nossa resposta final será x > 91/2.

g) |3x - 18| ≥ 27

Para que o módulo tenha valor maior que 27, basta 3x -18 seja maior que 27 ou que 3x – 18 seja menor que -27. Então teremos:

R: 7/4 < x < 17/4

i) cos(2x – 6) > 12

Pergunte-se: qual ângulo tem cosseno igual a 1/2? 60º ou em radianos, π/3. Com o auxílio do ciclo trigonométrico, é fácil ver que os ângulos maiores que π/3 e menores que 5π/3 satisfazem a condição. Assim como todas as suas voltas completas. Portanto:

Composição de Funções

j) (2x−8)(5−10x)(x+9)(20−4x) > 0

Veja que a fração deve ser maior que zero, ou seja, o sinal da fração é positivo. Assim, tanto o numerador como o denominador devem ter o mesmo sinal. Para isso, vamos os sinais de cada função e em seguida delimitar os resultados que nos interessam:

2x-8: 

para ser positivo: 2x -8 > 0 , então 2x > 8, x > 4

para ser negativo: 2x – 8 < 0, então 2x < 8 e x < 4

5-10x:

para ser positivo: 5 – 10x > 0 , então -10x > -5, x < 1/2

para ser negativo: x > ½

x+9:

para ser positivo: x + 9 > 0 , então x > -9

para ser negativo: x < -9

20-4x:

para ser positivo: 20 - 4x > 0 , então -4x > -20, x < 5

para ser negativo: x > 5

Note que para o numerador e denominador terem o mesmo sinal é porque todas as funções são positivas. Ou que 2x -8 e 20 – 4x sejam negativa e as restantes positivas. Ou ainda, 5-10x e x+9 negativas e todas positivas. Ou seja, existem muitas possibilidades e para melhorar o entendimento, vamos montar um quadro de todas essas:  

2x-8	5-10x	x+9	20-4x	Fração
+	+	+	+	+
+	-	-	+	+
+	-	+	-	+
-	-	-	-	+
-	-	+	+	+
-	+	-	+	+
-	+	+	-	+

Mas essas combinações só podem acontecer nos intervalos que analisamos anteriormente:

2x-8	5-10x	x+9	20-4x	Fração
x > 4	x < 1/2	x > -9	x < 5	Não existe!
x > 4	x > 1/2	x < -9	x < 5	Não existe!
x > 4	x > 1/2	x > -9	x > 5	x > 5
x < 4	x > 1/2	x < -9	x > 5	Não existe!
x < 4	x > 1/2	x > -9	x < 5	½ < x < 4
x < 4	x < 1/2	x < -9	x < 5	x < -9
x < 4	x < 1/2	x > -9	x > 5	Não existe!

Repare que a segunda linha não existe, pois não existe número maior que 4 e menor que -9. As outras linhas que não existem também possuem explicações muito parecidas.

Assim, nossa resposta é x < -9 ou ½ < x < 4 ou x > 5. Ou ainda, (-

∞

, - 9) U (1/24) U (5,+

∞

)

EXERCÍCIO

(CMB) Qual o menor valor inteiro que satisfaz a desigualdade apresentada a seguir?

9x + 2(3x − 4) > 11x − 14

(A) −2

(B) −1

(C) 0

(D) 1

(E) 2 

Solução

Basta resolver a inequação: 

9x + 6x -8 > 11x -14

9x + 6x -11x > +8 -14

4x > -6

x > -6/4

x > -1,5 

Olhando as respostas e sabendo que x deve ser o menor inteiro que -1,5, segue que x vale -1. Resposta: B

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