INEQUAÇÕES

INEQUAÇÕES

Definições

Inequação: toda a desigualdade literal que é apenas satisfeita por certos valores, as letras ou incógnitas que nela figuram, por outras palavras, apresentam os sinais de maior (>) ou menor (<) ao invés do sinal de igualdade que é o que caracteriza as equações.

Soluções ou Raízes de uma Inequação: os valores das incógnitas (ou letras) que satisfazem a inequação, que a transformam numa desigualdade numérica.

Exemplo:  

    

É essencial para este tema que as inequações sejam resolvidas complementadas pelos respectivos gráficos, é um tema complexo que o levará a analisar todo e qualquer tipo de resultado.

Tome atenção aos aspectos apresentados, não se apresse!!!. 

Inequação do 1° grau

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:

Exemplo 1: -2x + 7 > 0

Solução:

-2x > -7

Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: 2x - 6 < 0

Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2

Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3

INEQUAÇÃO PRODUTO

Algumas inequações apresentam, no 1º membro, produto de funções que para obter a resolução dessas inequações é preciso fazer o estudo do sinal de todas as funções, a solução seria a intersecção do estudo dos sinais das funções que pertencem à inequação. 

Para compreender melhor como funciona o encontro do conjunto solução de uma inequação produto acompanhe o raciocínio dos exemplos seguintes. 

Exemplo 1: 

Ache o conjunto solução da equação produto abaixo: 
(-3x + 6) (5x -7) < 0 

Primeiro o estudo do sinal de cada função: 
-3x + 6 = 0 
-3x = -6 
-x = - 6 : (3) 
-x = - 2 
x = 2 



5x – 7 = 0 
5x = 7 
x = 7       5 




Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: 

Como a inequação quer valores que sejam menores que 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação será: 

S = {x  R / x < 7 ou x > 2} 
                            5
Exemplo 2: 

Ache o conjunto solução da equação produto abaixo: 
(2x – 10) (x² – 5x + 6) > 0 

Primeiro o estudo do sinal de cada função: 
2x – 10 = 0 
2x = 10 
x = 10 : 2 
x = 5 



x2 – 5x + 6 = 0 
∆ = 25 – 4 . 1 . 6 
∆ = 25 – 24 
∆ = 1 

x = 5 ± 1 
         2 

x’ = 3 
x” = 2 



Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: 



Como a inequação quer valores que sejam maiores que 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação (2x – 10) (x² – 5x + 6) > 0, será: 

S = {x  R / 2 < x < 3 ou x > 5} 

Exemplo 3: 

x . (x – 1) (-x + 2) ≤ 0 

x = 0 


x – 1 = 0 
x = 1 


-x + 2 = 0 
-x = -2 
x = 2 


Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: 


Como a inequação quer valores que sejam menores ou iguais a 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação 
x . (x – 1) (-x + 2) ≤ 0, será: 

{x  R / 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2}.

Por Danielle de Miranda 
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Ligeiramente modificado por Janildo Arantes (Graduado em Matemática Licenciatura Plena)

1. Encontre o valor de x que satisfaça a inequação de forma que o seu valor seja maior que 0.

  

1. Assim começa a equação                                                                                                                             

 1.1.  O primeiro passo é isolar o valor de x, por isso, passa-se o valor 6 para o 2º Termo invertendo o sinal e deixando unicamente no 1º Termo os valores que contêm a variavel x.                                                                                             

                                                                                                               

1.2. Isolando completamente a variável de cálculo.                                                                                                           

1.3. Nesse ponto, só precisa fazer a conta 6:2 =3, não esquecendo o sinal negativo( - 6 : 2 = - 3).                                                                                

  

Substituindo o valor de encontrado de x  na equação principal, o resultado deve ser maior que 0, ou seja, temos de substituir por valores maiores que -3, porquê?                                                              Experimente substituir pelo proprio valor  -3.                                                                                                                                               

1. Lembre-se os valores a substituir têm de ser maiores que -3, assim sucessivamente.                                                                      Exemplo: Experimente -2, -1 e 0.                                                                                                                                                                      

      

                  

                                                                                                                    

2. Resolva a seguinte inequação fraccionária:                                                                                                                       

                                                                                             

 2.1. Antes de começarmos a resolver a inequação devemos ter em conta que a operação com numeros fraccionários não é complexa, apenas exige mais passos e consequentemente aumenta a probabilidade de cometer erros na resolução dos exercícios. Assim, simplificamos a inequação multiplicando ambos os termos por 3, visto que ambas as fracções são divisiveis por este valor.                                                                                                                   

  

   2.2. Multiplicando toda a inequação por 3, eliminam-se as fracções. Este procedimento não altera em nada a inequação apenas a torna mais simples. Vejamos o que acontece o que acontece: 3 a multiplicar pela inequação toda apenas afecta os numeradores. Passemos ao exemplo abaixo.

     

2.3. Como 3:3 = 1, confome mostram os valores que são cortados no exemplo acima, a inequação simplicada apresentará o seguinte aspecto ou resultado. Eliminaram-se dessa forma as fracções.  

2.4. Quando a variavel de cálculo é afectada pelo sinal negativo devemos sempre torná-lo num sinal positivo multiplicando ambos os termos da inequação por (-1). No caso das inequações essa operação afecta também o sinal da desigualdade (> ou <); invertendo-o. Veja o exemplo abaixo.    

2.4.1 Porquê o sinal de desigualdade deve sempre mudar de maior (>) para menor (<) e viceversa.

 È simples: Admita por exemplo, a seguinte desigualdade ou inequação na qual substituiráx pelos valores -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

 2.4.2. Agora experimente fazer com que -x passe de negativo a positivo, x, sem inverter a desiguldade. Multiplicar toda a inequação por (-1) deixando de lado o sinal (<).Veja o exemplo. 

  2.4.3 Veja agora a operação respeitando a inversão do sinal de desiguldade. Multiplicando tudo por  (-1) e passando também o sinal (>) para (<). Atenção: Igual a solução apresentada por 2.4.1. Esta é a operação correcta.

Exercícios propostos

a) Resolva a seguinte inequação modular:  

      

Começaremos por analisar o conceito ou a definição de módulo, que diz que:

              |x|     =    x       se       x >= 0

              |-x|   =    x       se       x  <   0             ou vice-versa             -x   =   |x|       se     x   <   0 

     

O que se quer aqui dizer, é que independentemente da resultante do módulo ser sempre positiva o valor que está dentro do módulo (ou a sua origem) pode ser positivo ou negativo. 

                       Assim:                   

Propriedade do Módulo - quando a desigualdade for menor que a: o conjunto solução é restrito entre -a e a.

                                              quando a desigualdade for maior que a: o conjunto solução apresenta valores ou
                                              maiores que a ou menores que -a.

                      Resolução a)

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http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-primeiro-grau/

Exercícios aqui.


Obs.: Gráficos plotados na página http://www.wolframalpha.com/



Ligeiramente modificado por Janildo Arantes (Graduado em Matemática Licenciatura Plena)